Question

【題目】如圖所示，二次函數(shù)的圖象與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，其中點(diǎn)在軸的正半軸上，點(diǎn)在軸的正半軸上，線段、的長(zhǎng)（）是方程的兩個(gè)根，且點(diǎn)坐標(biāo)為．

（1）求此二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）若點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)、不重合），過點(diǎn)作∥交于點(diǎn)，連接. 設(shè)的長(zhǎng)為，△的面積為，求S與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；

（3）在（2）的基礎(chǔ)上試說明是否存在最大值，若存在，請(qǐng)求出的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)，判斷此時(shí)△的形狀；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）(0<m<8);（3）當(dāng)時(shí)有最大值，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，△為等腰三角形.

【解析】

（1）通過解方程x210x＋16＝0得到二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，再結(jié)合A的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；

（2）用m表述出AE、BE的長(zhǎng)，得到△BEF∽△BAC，再利用相似三角形的性質(zhì)得到比例式，求出EF的表達(dá)式，利用sin∠FEG＝sin∠CAB＝得到，求出FG的表達(dá)式，再根據(jù)S＝S△BCES△BFE求S與m之間的函數(shù)關(guān)系，m的值不超過AB的長(zhǎng)．

（3）將S＝m2＋4配方為S＝（m4）2＋8，求出S的最大值，進(jìn)而判斷出此時(shí)△BCE的形狀．

（1）方程的兩個(gè)根為2和8.

由于，所以，，故，點(diǎn)坐標(biāo)為.

因?yàn)辄c(diǎn)坐標(biāo)為，所以．

解得，.

故此二次函數(shù)的表達(dá)式為.

（2）∵AB＝8，OC＝8，依題意，AE＝m，則BE＝8m，

∵OA＝6，OC＝8，

∴AC＝10．

∵EF∥AC，

∴△BEF∽△BAC．

∴．

即．

∴EF＝．

過點(diǎn)F作FG⊥AB，垂足為G，則sin∠FEG＝sin∠CAB＝．

∴．

∴FG＝＝8m．

∴S＝S△BCES△BFE

＝（8m）×8（8m）（8m）

＝（8m）（88＋m）

＝（8m）m

＝，自變量m的取值范圍是0＜m＜8．

（3）存在．

理由如下：

∵S＝=（m4）2＋8，且＜0，

∴當(dāng)m＝4時(shí)，S有最大值，S最大值＝8．

∵m＝4，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，0）．

∴△BCE為等腰三角形．