Question

9．如圖，在正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD的中點(diǎn)，連接AE，BF交于點(diǎn)G，將△BCF沿BF對(duì)折，得到△BPF，延長(zhǎng)FP交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（　　）
①AE=BF；②AE⊥BF；③sin∠BQP=$\frac{4}{5}$；④S_{四邊形ECFG}=2S_△BGE．

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 首先證明△ABE≌△BCF，再利用角的關(guān)系求得∠BGE=90°，即可得到①AE=BF；②AE⊥BF；△BCF沿BF對(duì)折，得到△BPF，利用角的關(guān)系求出QF=QB，解出BP，QB，根據(jù)正弦的定義即可求解；根據(jù)AA可證△BGE與△BCF相似，進(jìn)一步得到相似比，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．

解答 解：∵E，F(xiàn)分別是正方形ABCD邊BC，CD的中點(diǎn)，
∴CF=BE，
在△ABE和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABE=∠BCF}\\{BE=CF}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），
∴∠BAE=∠CBF，AE=BF，故①正確；
又∵∠BAE+∠BEA=90°，
∴∠CBF+∠BEA=90°，
∴∠BGE=90°，
∴AE⊥BF，故②正確；
根據(jù)題意得，F(xiàn)P=FC，∠PFB=∠BFC，∠FPB=90°
∵CD∥AB，
∴∠CFB=∠ABF，
∴∠ABF=∠PFB，
∴QF=QB，
令PF=k（k＞0），則PB=2k
在Rt△BPQ中，設(shè)QB=x，
∴x²=（x-k）²+4k²，
∴x=$\frac{5k}{2}$，
∴sin=∠BQP=$\frac{BP}{QB}$=$\frac{4}{5}$，故③正確；
∵∠BGE=∠BCF，∠GBE=∠CBF，
∴△BGE∽△BCF，
∵BE=$\frac{1}{2}$BC，BF=$\frac{\sqrt{5}}{2}$BC，
∴BE：BF=1：$\sqrt{5}$，
∴△BGE的面積：△BCF的面積=1：5，
∴S_{四邊形ECFG}=4S_△BGE，故④錯(cuò)誤．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了四邊形的綜合題，涉及正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)的知識(shí)點(diǎn)，解決的關(guān)鍵是明確三角形翻轉(zhuǎn)后邊的大小不變，找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)邊，角的關(guān)系求解．