以四邊形ABCD的邊AB、AD為邊分別向外側(cè)作等邊三角形ABF和ADE,連接EB、FD,交點(diǎn)為G.

(1)當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(如圖1),EB和FD的數(shù)量關(guān)系是
EB=FD
EB=FD

(2)當(dāng)四邊形ABCD為矩形時(如圖2),EB和FD具有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請加以證明;
(3)四邊形ABCD由正方形到矩形到一般平行四邊形的變化過程中,∠EGD是否發(fā)生變化?如果改變,請說明理由;如果不變,請?jiān)趫D3中求出∠EGD的度數(shù).
分析:(1)EB=FD,利用正方形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的證明方法可證明△AFD≌△ABE,由全等三角形的性質(zhì)即可得到EB=FD;
(2)當(dāng)四邊形ABCD為矩形時,EB和FD仍舊相等,證明的思路同(1);
(3)四邊形ABCD由正方形到矩形到一般平行四邊形的變化過程中,∠EGD是不發(fā)生變化,是一定值為60°.
解答:(1)EB=FD,
理由如下:
∵四邊形ABCD為正方形,
∴AB=AD,
∵以四邊形ABCD的邊AB、AD為邊分別向外側(cè)作等邊三角形ABF和ADE,
∴AF=AE,∠FAB=∠EAD=60°,
∵∠FAD=∠BAD+∠FAB=90°+60°=150°,
∠BAE=∠BAD+∠EAD=90°+60°=150°,
∴∠FAD=∠BAE,
在△AFD和△ABE中,
AF=AE
∠FAD=∠BAE
AD=AB
,
∴△AFD≌△ABE,
∴EB=FD;
(2)EB=FD.
證:∵△AFB為等邊三角形
∴AF=AB,∠FAB=60°
∵△ADE為等邊三角形,
∴AD=AE,∠EAD=60°
∴∠FAB+∠BAD=∠EAD+∠BAD,
即∠FAD=∠BAE
∴△FAD≌△BAE
∴EB=FD;
(3)解:∵△ADE為等邊三角形,
∴∠AED=∠EDA=60°
∵△FAD≌△BAE,
∴∠AEB=∠ADF,
設(shè)∠AEB為x°,則∠ADF也為x°
于是有∠BED為(60-x)°,∠EDF為(60+x)°,
∴∠EGD=180°-∠BED-∠EDF
=180°-(60-x)°-(60+x)°=60°.
點(diǎn)評:本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)以及矩形的性質(zhì),題目的綜合性很強(qiáng),難度也不小,解題的關(guān)鍵是對特殊幾何圖形的性質(zhì)要準(zhǔn)確掌握.
練習(xí)冊系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

以四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA為斜邊分別向外側(cè)作等腰直角三角形,直角頂點(diǎn)分別為E、F、G、H,順次連接這四個點(diǎn),得四邊形EFGH.
(1)如圖1,當(dāng)四邊形ABCD為正方形時,我們發(fā)現(xiàn)四邊形EFGH是正方形;如圖2,當(dāng)四邊形ABCD為矩形時,請判斷:四邊形EFGH的形狀(不要求證明);
(2)如圖3,當(dāng)四邊形ABCD為一般平行四邊形時,設(shè)∠ADC=α(0°<α<90°),
①試用含α的代數(shù)式表示∠HAE;
②求證:HE=HG;
③四邊形EFGH是什么四邊形?并說明理由.
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【小題1】(1)如圖2,當(dāng)四邊形ABCD為矩形時,則四邊形EFGH的形狀是    ;(1分)
【小題2】(2)如圖3,當(dāng)四邊形ABCD為一般平行四邊形時,設(shè)∠ADC=(0°<<90°),
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【小題4】② 求證:HE=HG;(4分)③ 四邊形EFGH是什么四邊形?并說明理由.(4分)

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【小題4】② 求證:HE=HG;(4分)③ 四邊形EFGH是什么四邊形?并說明理由.(4分)

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1.(1)如圖2,當(dāng)四邊形ABCD為矩形時,則四邊形EFGH的形狀是     ;(1分)

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3.① 試用含的代數(shù)式表示∠HAE=               ;(1分)

4.② 求證:HE=HG;(4分)③ 四邊形EFGH是什么四邊形?并說明理由.(4分)

 

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