Question

如圖，某新建公園有一個(gè)圓形人工湖，湖中心O處有一座噴泉，小明為測量湖的半徑，在湖邊選擇A、B兩個(gè)點(diǎn)，在A處測得∠OAB=45°，在AB延長線上的C處測得∠OCA=30°，已知BC=50米，求人工湖的半徑．（結(jié)果保留根號(hào)）

Answer 1

考點(diǎn)：垂徑定理的應(yīng)用

專題：

分析：過點(diǎn)O作OD⊥AC于點(diǎn)D，由垂徑定理可知AD=BD，根據(jù)∠OAB=45°可知AD=OD，設(shè)AD=x，則OD=x，OA=

2

x，CD=x+BC=（x+50）米，再根據(jù)∠OCA=30°即可得出x的值，進(jìn)而得出結(jié)論．

解答：解：過點(diǎn)O作OD⊥AC于點(diǎn)D，則AD=BD，
∵∠OAB=45°，
∴AD=OD，
∴設(shè)AD=x，則OD=x，OA=

2

x，CD=x+BC=x+50）．
∵∠OCA=30°，
∴

OD

CD

=tan30°，即

x

x+50

=

3

3

，
解得x=25

3

-25，
∴OA=

2

x=

2

×（25

3

-25）=（25

6

-25

2

）（米）．
答：人工湖的半徑為（25

6

-25

2

）米．

點(diǎn)評：本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．