Question

已知二次函數：

(1) 證明：當m為整數時，拋物線與x軸交點的橫坐標均為整數；

(2) 以拋物線的頂點A為等腰Rt△的直角頂點，作該拋物線的內接等腰Rt△ABC（B、C兩點在拋物線上），求Rt△ABC的面積（圖中給出的是m取某一值時的示意圖）；

(3) 若拋物線與直線y＝7交點的橫坐標均為整數，求整數m的值.

 

Answer 1

【答案】

（1）證明：令 ，解得拋物線與軸交點的橫坐標x,

，

∵m是整數，∴是整數，∴均為整數

（2） 求得頂點A（2m， ），根據拋物線的軸對稱性，所以BC平行x軸，

作AD⊥BC，設B（a，b），則D在對稱軸上，D（2m，b），

則BD＝2m－a,（2m＞a），

AD＝－b

＝＝(2m－a)²

∵AD＝BD, ∴(2m－a)²＝(2m－a), 解得2m－a＝1或2m－a＝0（舍去）

∴S_△ABC＝BCAD＝×2BD×AD＝1

（3）由，，

當x為整數時，須為完全平方數，設 （n是整數）整理得：即

兩個整數的積為7，∴~~~

解得： 綜上得： m＝3或m＝－1

∴拋物線與直線y＝7交點的橫坐標均為整數時，m＝3或m＝－1.

【解析】（1）表示出橫坐標，然后分析是整數；

 

       （2）得出BC平行x軸、D在對稱軸上是求三角形面積的關鍵；

       （3）當x為整數時，為完全平方數，然后根據兩個整數的積=7求解。