【題目】如圖1,已知△ABC中,AB=BC=1,∠ABC=90°,把一塊含30°角的直角三角板DEF的直角頂點(diǎn)D放在AC的中點(diǎn)上(直角三角板的短直角邊為DE,長(zhǎng)直角邊為DF),將直角三角板DEF繞D點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn).
(1)在圖1中,DE交邊AB于M,DF交邊BC于N,證明:DM=DN;
(2)在這一旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,直角三角板DEF與△ABC的重疊部分為四邊形DMBN,請(qǐng)說(shuō)明四邊形DMBN的面積是否發(fā)生變化?若發(fā)生變化,請(qǐng)說(shuō)明是如何變化的?若不發(fā)生變化,求出其面積;
(3)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖2的位置,延長(zhǎng)AB交DE于M,延長(zhǎng)BC交DF于N,DM=DN是否仍然成立?若成立,請(qǐng)給出證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)詳情見(jiàn)解析;(2)四邊形DMBN面積不發(fā)生變化,面積為;(3)仍然成立,證明見(jiàn)解析.
【解析】
(1)連接BD,求出BD=DC,∠MDB=∠CDN,∠C=∠ABD,根據(jù)ASA證明△MBD≌△NCD,進(jìn)而求證即可;
(2)根據(jù)全等得出△MBD與△NCD面積相等,求出四邊形DMBN的面積等于△BDC的面積,進(jìn)而求解即可;
(3)連接BD,求出BD=DC,∠MDB=∠CDN,∠C=∠ABD,根據(jù)ASA證明△MBD≌△NCD,進(jìn)而求證即可.
(1)如圖1,連接BD.
∵在Rt△ABC中,AB=BC,AD=DC,
∴BD=DC=AD,∠BDC=90°,
∴∠ABD=∠C=45°,
∵∠MDB+∠BDN=90°,∠CDN+∠BDN=90°
∴∠MDB=∠NDC,
在△MBD與△NCD中,
∵∠MDB=∠NDC,BD=DC,∠MBD=∠C,
∴△MBD≌△NCD,
∴DM=DN.
(2)四邊形DMBN面積不發(fā)生變化.
由(1)得△MBD≌△NCD,
∴S△MBD=S△NCD,
∴四邊形DMBN面積=S△DMB+S△BDN= S△CND+ S△BDN=S△ABC=.
(3)DM=DN仍然成立.
如圖2,連接BD,
∵在Rt△ABC中,AB=BC,AD=DC,
∴DB=DC,∠BDC=90°,
∴∠DCB=∠DBC=45°,
∴∠DBM=∠DCN=135°,
∵∠NDC+∠CDM=90°,∠BDM+∠CDM=90°,
∴∠CDN=∠BDM,
在△CDN與△BDM中,
∵∠CDN=∠BDM,DC=DB,∠DCN=∠DBM,
∴△CDN≌△BDM,
∴DM=DN.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)y1=kx+b的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A(﹣2,﹣5),C(5,n),交y軸于點(diǎn)B,交x軸于點(diǎn)D.
(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)y1=kx+b的表達(dá)式;
(2)連接OA,OC,求△AOC的面積;
(3)根據(jù)圖象,直接寫出y1>y2時(shí)x的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象過(guò)點(diǎn)M(﹣2, ),頂點(diǎn)坐標(biāo)為N(﹣1, ),且與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)△PBC為等腰三角形時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)在直線AC上是否存在一點(diǎn)Q,使△QBM的周長(zhǎng)最?若存在,求出Q點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知△ABC中,AB=AC=10cm,BC=8cm,點(diǎn)D為AB的中點(diǎn).
(1)如果點(diǎn)P在線段BC上以3cm/s的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng),同時(shí),點(diǎn)Q在線段CA上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng).
①若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等,經(jīng)過(guò)1s后,△BPD與△CQP是否全等,請(qǐng)說(shuō)明理由;
②若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等,當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí),能夠使△BPD與△CQP全等?
(2)若點(diǎn)Q以②中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)C出發(fā),點(diǎn)P以原來(lái)的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā),都逆時(shí)針沿△ABC三邊運(yùn)動(dòng),求經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在△ABC的哪條邊上相遇?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知∠A=90°+x°,∠B=90°﹣x°,∠CED=90°,4∠C﹣∠D=30°,射線EF∥AC.
(1)判斷射線EF與BD的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;
(2)求∠C,∠D的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】學(xué)校計(jì)劃組織名師生租乘汽車外出研學(xué)一天,需租用大巴、中巴共輛,且要求租用的車子不留空位也不超載,大巴每輛可乘坐名乘客,中巴每輛可乘坐名乘客.
(1)求該校應(yīng)租用大巴、中巴各多少輛?(請(qǐng)用含的代數(shù)式表示)
(2)若每輛大巴租金是元/天,中巴租金是元/天,若租金不能超過(guò)元,則應(yīng)租用大巴、中巴各多少輛?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,BD⊥AC,AB=8,AC=,∠A=30°.
(1)請(qǐng)求出線段AD的長(zhǎng)度;
(2)請(qǐng)求出sin∠C的值.
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