(2012•開平區(qū)一模)如圖,在一個內(nèi)角為60°的菱形ABCD中,邊長為4,將它繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到菱形A′B′C′D′,則陰影部分的周長為
16(
3
-1)
16(
3
-1)
分析:由菱形的性質(zhì),可求得OA與OD的長,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),即可求得OA′與OB′的長,又可證得AB′=B′F=FD=A′D,即可求得DF=B′F的長,繼而求得答案.
解答:解:設(shè)AB與A′B′交于F,
∵四邊形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,
∵AD=A′B′=4,∠DAB=60°,
∴∠DAO=∠B′A′O=30°,
∴OD=OB′=2,AO=A′O=2
3
,
∴AB′=AO-B′O=2
3
-2,
∵∠DAC=30°,∠A′B′C=60°
∴∠DAC=∠AFB′=30°,
∴AB′=B′F=FD=A′D,
∴B′F=FD=2
3
-2,
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得陰影部分為各邊長相等的八邊形,
∴旋轉(zhuǎn)前后兩菱形重疊部分多邊形的周長是:16(
3
-1).
故答案為:16(
3
-1).
點評:此題考查了菱形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理以及含30°角的直角三角形的性質(zhì).此題難度適中,注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.
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