Question

如圖，點P是正方形ABCD的對角線BD上一點，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分別為點

E，F(xiàn)，連接AP，EF，給出下列四個結論：

                    

①AP =EF；②∠PFE=∠BAP；③PD= EC；④△APD一定是等腰三角形．其中正確的結論有

A．1個     B．2個     C．3個     D．4個

 

Answer 1

【答案】

C

【解析】解：作PH⊥AB于H，

∴∠PHB=90°，

∵PE⊥BC，PF⊥CD，

∴∠PEB=∠PEC=∠PFC=90°．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=AD，∠1=∠2=∠BDC=45°，∠ABC=∠C=90°，

∴四邊形BEPH和四邊形PECF是矩形，PE=BE，DF=PF，

∴四邊形BEPH為正方形，

∴BH=BE=PE=HP，

∴AH=CE，

∴△AHP≌△FPE，

∴AP=EF，∠PFE=∠BAP，

故①、②正確，

在Rt△PDF中，由勾股定理，得

PD= 2 PF，

∴PD= 2 CE．

故③正確．

∵點P在BD上，

∴當AP=AD、PA=PD或DA=DP時△APD是等腰三角形．

∴△APD是等腰三角形只有三種情況．

故④錯誤，

∴正確的個數(shù)有3個．

故選C．