Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=10，AD=6，BC=18，M是CD的中點(diǎn)，P是BC邊上的一動點(diǎn)（P與B，C不重合），連接PM并延長交AD的延長線于Q．
（1）當(dāng)P在B，C之間運(yùn)動到什么位置時，四邊形ABPQ是平行四邊形？請說明理由．
（2）當(dāng)四邊形ABPQ是直角梯形時，點(diǎn)P與C距離是多少？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)AAS證△CMP≌△DMQ，推出PC=DQ=6，求出BP、AQ，推出BP=AQ即可；
（2）作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，根據(jù)AAS證△ABE≌△DCF，推出BE=FC，證平行四邊形AEFD，求出AE、BE的長，根據(jù)勾股定理求出PC即可．

解答：（1）解：當(dāng)CP=6時，四邊形ABPQ是平行四邊形．
理由：∵AD∥BC，
∴∠C=∠CDQ，∠QPC=∠Q，
∵CM=DM
∴△CMP≌△DMQ，
∴PC=DQ=6，
而BP=BC-PC=18-6=12，
AQ=AD+DQ=6+6=12，
∴BP=AQ，
∵AD∥BC，
∴四邊形ABPQ是平行四邊形．

（2）解：作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，
由于AB=CD，∠B=∠C，∠AEB=∠DFC=90°，
∴△ABE≌△DCF，
∴BE=FC，
由于AE∥DF，AD∥EF，
∴四邊形AEFD是平行四邊形，
∴AD=EF，
∴BE=

BC-AD

2

=

18-6

2

=6，
∴AE=

AB2-BE2

=

102-62

=8，
由（1）知：QM=MP，
∴MP=4，
∴PC=

CM2-MP2

=

52-42

=3，
答：當(dāng)四邊形ABPQ是直角梯形時，點(diǎn)P與C距離是3．

點(diǎn)評：本題主要考查對勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，等腰梯形的性質(zhì)等知識點(diǎn)的理解和掌握，能綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計算和推理是解此題的關(guān)鍵．