Question

【題目】“夕陽紅”養(yǎng)老院共有普通床位和高檔床位共500張．已知今年一月份入住普通床位老人300人，入住高檔床位老人90人，共計收費(fèi)51萬元；今年二月份入住普通床位老人350人，入住高檔床位老人100人，共計收費(fèi)58萬元．
（1）求普通床位和高檔床位每月收費(fèi)各多少元？
（2）根據(jù)國家養(yǎng)老政策規(guī)定，為保障普通居民的養(yǎng)老權(quán)益，所有實際入住高檔床位數(shù)不得超過普通床位數(shù)的三分之一；另外為扶持養(yǎng)老企業(yè)發(fā)展國家民政局財政對每張入住的床位平均每年都是給予養(yǎng)老院企業(yè)2400元的補(bǔ)貼．經(jīng)測算，該養(yǎng)老院普通床位的運(yùn)營成本是每月1200元/張，入住率為90%；高檔床位的運(yùn)營成本是每月2000元/張，入住率為70%．問該養(yǎng)老院應(yīng)該怎樣安排500張床的普通床位和高檔床位數(shù)量，才能使每月的利潤最大，最大為多少元？（月利潤＝月收費(fèi)－月成本+月補(bǔ)貼）

Answer 1

【答案】
（1）

解：設(shè)普通床位月收費(fèi)為x元，高檔床位月收費(fèi)為y元．

根據(jù)題意得：

解之得：.

答：普通床位月收費(fèi)為800元，高檔床位月收費(fèi)為3000元．

（2）

解：設(shè)：應(yīng)安排普通床位a張，則高檔床位為（500－a）張．

由題意：0.7×(500－a)≤0.9×a，

解之得： a≥350

每張床位月平均補(bǔ)貼＝2400÷12＝200元

設(shè)月利潤總額為w，根據(jù)題意得：

w＝90%×800a+70%×3000(500－a)－90%×1200a－70%×2000(500－a)+200a×90%+200(500－a)×70% = －1020a+420000，

∵k＝－1020<0 ∴w隨著a的增大而減小

∴當(dāng)a＝350時，w有最大值＝ －1020×350+420000＝63000.

答：應(yīng)該安排普通床位350張、高檔床位150張，才能使每月的利潤最大，最大為63000元.

【解析】（1）此問考查二元一次方程組的應(yīng)用，根據(jù)題干中“共計收費(fèi)51萬元”和“共計收費(fèi)58萬元”兩句的等量關(guān)系，列出方程組，解出未知數(shù)即可.
（2）此問考查一次函數(shù)最值得應(yīng)用，首先求出自變量的取值范圍，然后把月利潤總額的函數(shù)表達(dá)式求出，利用一次函數(shù)的最值求解.