Question

矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系中位置如圖所示，A、C兩點的坐標(biāo)分別為A（6，0），C（0，-3），直線與BC邊相交于D點．
（1）求點D的坐標(biāo)；
（2）若拋物線經(jīng)過點A，求此拋物線的表達(dá)式及對稱軸；
（3）設(shè)（2）中的拋物線的對稱軸與直線OD交于點M，點P為坐標(biāo)軸上一動點，以P、O、M為頂點的三角形與△OCD相似，求出點M的坐標(biāo)和符合條件的點P的坐標(biāo)；
（4）當(dāng)（3）中符合條件的△POM面積最大時，過點O的直線l將其面積分為1：3兩部分，請直接寫出直線l的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)直線與BC邊相交于D點，可得點D的縱坐標(biāo)為-3，代入函數(shù)解析式可得出點D的橫坐標(biāo)；
（2）利用待定系數(shù)法求出a的值，繼而可得出對稱軸；
（3）由（2）可得點M的橫坐標(biāo)，代入解析式可得出點M的縱坐標(biāo)，結(jié)合圖形可得，只要滿足△POM是直角三角形，即可滿足條件，從而尋找符合題意的點P即可；
（4）過原點的直線，只要過線段MP₄四等分點H、G即可．
解答：解：（1）∵D是直線y=-x與BC的交點，
∴可得點D的縱坐標(biāo)為-3，
從而可得D的坐標(biāo)為（4，-3）；

（2）點A（6，0）代入y=ax²-x，得0=36a-×6，
解得：a=
故拋物線的表達(dá)式為：；
從而可得對稱軸是直線x=3；
（3）
點M的橫坐標(biāo)為3，代入直線求得M（3，-），
對稱軸與x軸交點P₁符合，P₁（3，0），
過M作y軸的垂線交y軸于點P₂，則P₂符合條件，
解得P₂（0，-），
過M作OM的垂線分別交x軸y軸于點P₃、P₄，
則P₃（，0），P₄（0，-）．

（4）由（3）可得△OMP4的面積最大，
則只要直線過MP₄的四等分點即可將三角形面積四等分，
直線MP₄經(jīng)過點M（3，-），點P₄（0，-），
故直線MP₄的解析式為：y=x-，
線段MP₄的三等分點有兩個，分別為H、G，
，
則點H的橫坐標(biāo)為，點G的橫坐標(biāo)為，
故可得點H的坐標(biāo)為（，-），點G坐標(biāo)為（，-），
當(dāng)直線過點O、點H時，直線解析式為y=-7x；
當(dāng)直線過點O、點G時，直線解析式為y=-x．
綜上可得直線解析式為y=-7x或y=-x．
點評：此題考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、三角形的面積、二次函數(shù)的對稱軸，解答本題的關(guān)鍵要求同學(xué)們能將所學(xué)的知識融會貫通．