Question

如圖，現(xiàn)有邊長為4的正方形紙片ABCD，點P為AD邊上的一點（不與點A、點D重合），將正方形紙片折疊，使點B落在P處，點C落在G處，PG交DC于H，折痕為EF，聯(lián)結BP、BH．

（1）求證：∠APB=∠BPH；

（2）求證：AP+HC=PH；

（3）當AP=1時，求PH的長．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）3．4．

【解析】（1）∵PE=BE，∴∠EPB=∠EBP，又∵∠EPH=∠EBC=90°，∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP．即∠BPH=∠PBC．又∵四邊形ABCD為正方形∴AD∥BC，∴∠APB=∠PBC．

∴∠APB=∠BPH．

（2）過B作BQ⊥PH，垂足為Q，

由（1）知，∠APB=∠BPH，在△ABP與△QBP中，，∴△ABP≌△QBP（AAS），∴AP=QP，BA=BQ．又∵AB=BC，∴BC=BQ．又∵∠C=∠BQH=90°，∴△BCH和△BQH是直角三角形，在Rt△BCH與Rt△BQH中，，∴Rt△BCH≌Rt△BQH（HL），∴CH=QH，∴AP+HC=PH．

（3）由（2）知，AP=PQ=1，∴PD=3．設QH=HC=x，則DH=4-x．在Rt△PDH中，PD²+DH²=PH²，

即3²+（4-x）²=（x+1）²，解得x=2．4，∴PH=3．4．