【題目】如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點C(03),與x軸分別交于點A,點B(30),AB=4

(1)求二次函數(shù)y=ax2+bx+c的表達式;

(2)M是二次函數(shù)對稱軸上一動點,當(dāng)點M運動到什么位置時,△ACM的周長最?求出此時M點的坐標(biāo);

(3)P是直線BC上方的拋物線上一動點,當(dāng)點P運動到什么位置時,四邊形ACPB的面積最大?求出此時P點的坐標(biāo)和四邊形ACPB的最大面積.

【答案】(1)y=x2+2x+3(2)(1,2)(3)當(dāng)點P的坐標(biāo)為()時,四邊形ACPB的最大面積值為

【解析】

1)根據(jù)待定系數(shù)法,可得函數(shù)解析式;

2)要使ACM的周長最小,AC長不變,即為AM+CM的和最小, A、點B關(guān)于對稱軸對稱,所以點M為對稱軸與直線BC的交點;

3)根據(jù)平行于y軸的直線上兩點間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較小的縱坐標(biāo),可得PQ的長,根據(jù)面積的和差,可得二次函數(shù),根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),可得答案.

(1)因為AB=4,所以A點的坐標(biāo)(10),

將點A、點B和點C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式,得

,解得

二次函數(shù)的解析式為y=x2+2x+3

(2)對稱軸x=1,要使ACM的周長最小,AC長不變,即為AM+CM的和最。

A、點B關(guān)于對稱軸對稱,所以點M為對稱軸與直線BC的交點.

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+t,

將點B和點C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式,得

解得

直線BC的解析為y=x+3,

當(dāng)x=1時,y=2.M(1,2)

(3)如圖2,過點PPFx軸,交CB于點Q

P在拋物線上,設(shè)P(m,﹣m2+2m+3),

直線BC的解析為y=x+3,

設(shè)點Q的坐標(biāo)為(m,﹣m+3),

PQ=m2+2m+3(m+3)=m2+3m

AB=4,

S四邊形ABPC=SABC+SPCQ+SPBQ

=ABOC+PQOF+PQFB

=×4×3+-m2+3m×3

=-m-2+,

當(dāng)m=時,四邊形ABPC的面積最大.

當(dāng)m=時,-m2+2m+3=,即P點的坐標(biāo)為().

當(dāng)點P的坐標(biāo)為(,)時,四邊形ACPB的最大面積值為

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