Question

【題目】已知 中， .點(diǎn) 從點(diǎn) 出發(fā)沿線段 移動，同時(shí)點(diǎn) 從點(diǎn) 出發(fā)沿線段 的延長線移動，點(diǎn) 、 移動的速度相同， 與直線 相交于點(diǎn) .
（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn) 為 的中點(diǎn)時(shí)，求 的長；

（2）如圖②，過點(diǎn) 作直線 的垂線，垂足為 ，當(dāng)點(diǎn) 、 在移動的過程中，設(shè) ， 是否為常數(shù)？若是請求出 的值，若不是請說明理由.

（3）如圖③，E為BC的中點(diǎn)，直線CH垂直于直線AD，垂足為點(diǎn)H，交AE的延長線于點(diǎn)M；直線BF垂直于直線AD，垂足為F；找出圖中與BD相等的線段，并證明.

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖，過P點(diǎn)作PF∥AC交BC于F，

∵點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā)，且速度相同，

∴BP=CQ，

∵PF∥AQ，

∴∠PFB=∠ACB，∠DPF=∠CQD，

又∵AB=AC，

∴∠B=∠ACB，

∴∠B=∠PFB，

∴BP=PF，

∴PF=CQ，又∠PDF=∠QDC，

∴△PFD≌△QCD，

∴DF=CD= CF，

又因P是AB的中點(diǎn)，PF∥AQ，

∴F是BC的中點(diǎn)，即FC= BC=6，

∴CD= CF=3

（2）解： 為定值.

如圖②，點(diǎn)P在線段AB上，過點(diǎn)P作PF∥AC交BC于F，

易知△PBF為等腰三角形，

∵PE⊥BF

∴BE= BF

∵易得△PFD≌△QCD

∴CD=

∴

（3）解：BD=AM

證明：∵

∴

∴

∵E為BC的中點(diǎn)

∴

∴ ,

∴ ，

∵AH⊥CM

∴

∵

∴

∴ ≌ (ASA)

∴

∴

即：

【解析】（1）根據(jù)已知可知BP=CQ，再根據(jù)PF∥AQ及AB=AC，證明∠B=∠PFB，得出BP=PF，證得PF=CQ，然后根據(jù)角角邊證明△PFD≌△QCD，得出DF=CD=CF，根據(jù)已知P是AB的中點(diǎn)，PF∥AQ，證明點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，求出CF的長，即可求出CD的長。
（2）點(diǎn)P在線段AB上，過點(diǎn)P作PF∥AC交BC于F，先證明△PBF為等腰三角形，根據(jù)PE⊥BF，得出BE與線段BF的數(shù)量關(guān)系，再證明△PFD≌△QCD ，結(jié)合CD= C F，然后根據(jù)B E + C D =BC，即可得出結(jié)論。
（3）先根據(jù)勾股定理的逆定理證明ΔABC是等腰直角三角形， 再根據(jù)E為BC的中點(diǎn)，去證明AE=EC，∠EAD = ∠ECM，然后證明△AED≌△CEM，得出DE=ME，根據(jù)BD=DE+BE=AE+ME=AM。即可得出結(jié)論。