Question

6．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD與CE的交點(diǎn)為F，連接AF并延長(zhǎng)交BC于G．
（1）AG與BC的關(guān)系為AG⊥BC；
（2）若tanα=1，求證：AF=2BG；
（3）若tanα=k，求AF：BG的值．

Answer 1

分析 （1）由條件可證明△BEC≌△CDB，可證得∠ECB=∠DBC，可得BF=FC，則可得出AF為BC的垂直平分線；
（2）當(dāng)tanα=1時(shí)，可得AE=EC，可證明△AEF≌△CEB，可得AF=BC，結(jié)合（1）的結(jié)論，可得BC=2BG，可證得結(jié)論；
（3）由條件可證明△AEF∽△CEB，結(jié)合tanα=k，可求得AF：BC=AE：EC=k，結(jié)合BC=2BG，可求得AF：BG的值．

解答 解：
（1）∵BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，
∴∠AEC=∠ADB=90°，
∵AB=AC，
∴∠EBC=∠DCB，
在△BEC和△CDB中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BEC=∠CDB}\\{∠EBC=∠DCB}\\{BC=CB}\end{array}\right.$
∴△BEC≌△CDB（AAS），
∴∠ECB=∠DBC，
∴BF=FC，
∴AF為線段BC的垂直平分線，
故答案為：AF⊥BC；
（2）證明：
當(dāng)tanα=1時(shí)，則$\frac{CE}{AE}$=1，即AE=CE，
由（1）可知AG⊥BC，
∴∠AEC=∠BEC=∠AGC=90°，
∴∠BAF+∠ABG=∠ABG+∠BCE=90°，
∴∠EAF=∠BCE，
在△AEF和△CEB中
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAF=∠ECB}\\{AE=CE}\\{∠AEF=∠BEC}\end{array}\right.$
∴△AEF≌△CEB（ASA），
∴AF=BC，
又AG⊥BC，AB=AC，
∴BC=2BG，
∴AF=2BG；
（3）同（2）可知∠EAF=∠ECB，∠AEF=∠BEC，
∴△AEF∽△CEB，
∴$\frac{AF}{BC}$=$\frac{AE}{EC}$=$\frac{1}{tanα}$=$\frac{1}{k}$，
∵BC=2BG，
∴$\frac{AF}{2BG}$=$\frac{1}{k}$，
∴$\frac{AF}{BG}$=$\frac{2}{k}$，
即AF：GB=2：k．

點(diǎn)評(píng) 本題為三角形的綜合應(yīng)用，涉及知識(shí)點(diǎn)有等腰三角形的判定和性質(zhì)、線段垂直平分線的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)及三角函數(shù)的定義等．在（1）中證得BF=CF是解題的關(guān)鍵，在（2）、（3）中利用三角函數(shù)的定義得到線段之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．