Question

【題目】已知平面直角坐標(biāo)系中兩定點(diǎn)、，拋物線過點(diǎn)A，B，與y交于C點(diǎn)，點(diǎn)P（m，n）為拋物線上一點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式和點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)∠APB為鈍角時，求m的取值范圍；

（3）當(dāng)∠PAB=∠ABC時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】解：（1）∵拋物線過點(diǎn)A，B，

∴，解得： ，

∴拋物線的解析式為： .

∴C．

（2）以AB為直徑作圓M，與y軸交于點(diǎn)P.則拋物線在圓內(nèi)的部分，能使∠APB為鈍角，

∴M（，0），⊙M的半徑=．

∵P是拋物線與y軸的交點(diǎn)，

∴OP=2，

∴MP=

∴P在⊙M上，

∴由拋物線的對稱性可知， ，

∴當(dāng)-1＜m＜0或3＜m＜4時，∠APB為鈍角．

（3）在Rt△OBC中， .

第一種情況：過A作AP∥BC，交拋物線于點(diǎn)P .

∴∠PAB=∠ABC.

過P作PQ⊥AB于Q，

∴.

∵P（m，n）,

∴PQ=n，AQ=m+1

∴.

∴.

解得

∴

第二種情況：點(diǎn)P關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為

∴直線AP″的解析式為

∴解得

∴

∴

【解析】試題（1）將A點(diǎn)，B點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式，即可求出解析式，可得 C點(diǎn)坐標(biāo)；（2）以AB為直徑作圓M，與y軸交于點(diǎn)P.因為AB為直徑，所以當(dāng)拋物線上的點(diǎn)P在⊙C的內(nèi)部時，滿足∠APB為鈍角，根據(jù)題意可證得P在⊙M上，由拋物線的對稱性可知， ，可得-1＜m＜0，或3＜m＜4；（3）根據(jù)題意分兩種情況進(jìn)行討論，即可得出答案.