Question

【題目】綜合與探究

如圖，已知拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，求點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）在第一象限的拋物線上有一點(diǎn)，當(dāng)面積最大時(shí)，求點(diǎn)坐標(biāo)；

（4）在軸下方拋物線上有一點(diǎn)，面積為6，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點(diǎn)坐標(biāo)為；（3）點(diǎn)坐標(biāo)為；（4）、．

【解析】

(1)設(shè)拋物線解析式為，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入，即可求解；
(2)點(diǎn)A關(guān)于函數(shù)對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為B，連接BC交函數(shù)對(duì)稱軸于點(diǎn)P，此時(shí)點(diǎn)P即為所求點(diǎn)，即可求解；
(3)利用，結(jié)合二次函數(shù)的最值問題，即可求解；

(4)利用三角形面積公式可求得點(diǎn)H的縱坐標(biāo)，即可求解．

(1) ∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)()

設(shè)拋物線解析式為，

將點(diǎn)代入得：，

解得：，

∴解析式為：；

(2) 函數(shù)的表達(dá)式為：，

令，則，

解得：或，

令，則，
故點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為(-1，0)、(0，2)，
點(diǎn)A關(guān)于函數(shù)對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為B，連接BC交函數(shù)對(duì)稱軸于點(diǎn)P，此時(shí)點(diǎn)P即為所求點(diǎn)，

設(shè)直線BC的表達(dá)式為：，

將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：得：

，

解得：，

故直線BC的表達(dá)式為：，
當(dāng)時(shí)，，

故點(diǎn)的坐標(biāo)為；
(3)過點(diǎn)M作MH∥y軸交AB于點(diǎn)H，

設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，

∴當(dāng)時(shí)，最大，

將代入得：，

此時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為：；

(4)設(shè)點(diǎn)H的縱坐標(biāo)為y，

，

解得：，

∵點(diǎn)在軸下方，

∴，

將代入得：，

解得：，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為：，