Question

【題目】如圖，點A．B．C分別是⊙O上的點，∠B=60°，AC=3，CD是⊙O的直徑，P是CD延長線上的一點，且AP=AC．

（1）求證：AP是⊙O的切線；

（2）求PD的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

試題分析：（1）連接OA，利用等腰三角形的性質和角的關系求出∠OAP=90°，得出OA⊥AP即可；（2）連接AD，△ACD中利用tan30°求出AD=,然后證明∠P=∠PAD得出PD=AD=．

試題解析：（1）連接OA．

∵∠B=60°，

∴∠AOC=2∠B=120°，

又∵OA=OC，

∴∠ACP=∠CAO=30°，

∴∠AOP=60°，

∵AP=AC，

∴∠P=∠ACP=30°，

∴∠OAP=90°，

∴OA⊥AP，

∴AP是⊙O的切線，

（2）連接AD．

∵CD是⊙O的直徑，

∴∠CAD=90°，

∴AD=AC×tan30°=3×=，

∵∠ADC=∠B=60°，

∴∠PAD=∠ADC﹣∠P=60°﹣30°，

∴∠P=∠PAD，

∴PD=AD=．