【題目】如圖,拋物線與x軸交于A1,0)、B-3,0)兩點,與y軸交于點C0,3),設(shè)拋物線的頂點為D
1)求該拋物線的解析式與頂點D的坐標.
2)試判斷△BCD的形狀,并說明理由.
3)探究坐標軸上是否存在點P,使得以PA、C為頂點的三角形與△BCD相似?若存在,請直接寫出點P的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】(1)y=-x2-2x+3,(-1,4);(2)△BCD是直角三角形.理由見解析;(3P1(00),P2(0,),P3(90)

【解析】

1)利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式;
2)利用勾股定理求得BCD的三邊的長,然后根據(jù)勾股定理的逆定理即可作出判斷;
3)分px軸和y軸兩種情況討論,舍出P的坐標,根據(jù)相似三角形的對應邊的比相等即可求解.

1)設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c
由拋物線與y軸交于點C0,3),可知c=3.即拋物線的解析式為y=ax2+bx+3
把點A10)、點B-3,0)代入,得 解得a=-1,b=-2
∴拋物線的解析式為y=-x2-2x+3
y=-x2-2x+3=-x+12+4
∴頂點D的坐標為(-1,4);
2BCD是直角三角形.


理由如下:過點D分別作x軸、y軸的垂線,垂足分別為E、F
∵在RtBOC中,OB=3,OC=3,
BC2=OB2+OC2=18
RtCDF中,DF=1,CF=OF-OC=4-3=1
CD2=DF2+CF2=2
RtBDE中,DE=4,BE=OB-OE=3-1=2,
BD2=DE2+BE2=20
BC2+CD2=BD2
∴△BCD為直角三角形.

3)①△BCD的三邊, ,又,故當P是原點O時,ACP∽△DBC;
②當AC是直角邊時,若ACCD是對應邊,設(shè)P的坐標是(0,a),則PC=3-a, ,即 ,解得:a=-9,則P的坐標是(0,-9),三角形ACP不是直角三角形,則ACP∽△CBD不成立;
③當AC是直角邊,若ACBC是對應邊時,設(shè)P的坐標是(0,b),則PC=3-b,則 ,即 ,解得:b=-,故P是(0,-)時,則ACP∽△CBD一定成立;
④當Px軸上時,AC是直角邊,P一定在B的左側(cè),設(shè)P的坐標是(d0).
AP=1-d,當ACCD是對應邊時,

,即 ,解得:d=1-3,此時,兩個三角形不相似;
⑤當Px軸上時,AC是直角邊,P一定在B的左側(cè),設(shè)P的坐標是(e,0).
AP=1-e,當ACDC是對應邊時, ,解得:e=-9,符合條件.
總之,符合條件的點P的坐標為:P1(00),P2(0),P3(90)

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