Question

3．已知正方形ABCD中，BC=3，點(diǎn)E、F分別是CB、CD延長線上的點(diǎn)，DF=BE，連接AE、AF，過點(diǎn)A作AH⊥ED于H點(diǎn)．
（1）求證：△ADF≌△ABE；
（2）若BE=1，求tan∠AED的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)輔助線的性質(zhì)得到AD=AB，∠ADC=∠ABC=90°，由鄰補(bǔ)角的定義得到∠ADF=∠ABE=90°，于是得到結(jié)論；
（2）過點(diǎn)A作AH⊥DE于點(diǎn)H，根據(jù)勾股定理得到AE=$\sqrt{10}$，ED=$\sqrt{C{D}^{2}+C{E}^{2}}$=5，根據(jù)三角形的面積S_△AED=$\frac{1}{2}$AD×BA=$\frac{9}{2}$，S_△ADE=$\frac{1}{2}$ED×AH=$\frac{9}{2}$，求得AH=1.8，由三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）正方形ABCD中，
∵AD=AB，∠ADC=∠ABC=90°，
∴∠ADF=∠ABE=90°，
在△ADF與△ABE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠ADF=∠ABE}\\{DF=BE}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△ABE；


（2）過點(diǎn)A作AH⊥DE于點(diǎn)H，
在Rt△ABE中，∵AB=BC=3，
∵BE=1，
∴AE=$\sqrt{10}$，ED=$\sqrt{C{D}^{2}+C{E}^{2}}$=5，
∵S_△AED=$\frac{1}{2}$AD×BA=$\frac{9}{2}$，
S_△ADE=$\frac{1}{2}$ED×AH=$\frac{9}{2}$，
解出AH=1.8，
在Rt△AHE中，EH=2.6，
∴tan∠AED=$\frac{AH}{EH}=\frac{1.8}{2.6}=\frac{9}{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積倒計(jì)時(shí)，勾股定理，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．