【題目】如圖,點A、B分別在x軸的負半軸和y軸的正半軸上,點C(2,﹣2),CA、CB分別交坐標軸于D、E,CA⊥AB,且CA=AB
(1)求點B的坐標;
(2)如圖2,連接DE,求證:BD﹣AE=DE;
(3)如圖3,若點F為(4,0),點P在第一象限內,連接PF,過P作PM⊥PF交y軸于點M,在PM上截取PN=PF,連接PO、BN,過P作∠OPG=45°交BN于點G,求證:點G是BN的中點.
【答案】(1)B(0,4);(2)見解析;(3)見解析
【解析】
(1)作CM⊥x軸于M,求出CM=CN=2,證△BAO≌△ACM,推出AO=CM=2,OB=AM=4,即可得出答案;
(2)在BD上截取BF=AE,連AF,證△BAF≌△CAE,證△AFD≌△CED,即可得出答案.
(3)作EO⊥OP交PG的延長線于E,連接EB、EN、PB,只要證明四邊形ENPB是平行四邊形就可以了.
解:(1)作CM⊥x軸于M,
∵C(2,﹣2),
∴CM=2,OM=2,
∵AB⊥AC,
∴∠BAC=∠AOB=∠CMA=90°,
∴∠BAO+∠CAM=90°,∠CAM+∠ACM=90°,
∴∠BAO=∠ACM,
在△BAO和△ACM中,
,
∴△BAO≌△ACM,
∴AO=CM=2,OB=AM=AO+OM=2+2=4,
∴B(0,4).
(2)證明:在BD上截取BF=AE,連AF,
∵△BAO≌△CAM,
∴∠ABF=∠CAE,
在△ABF和△ACE中,
,
∴△ABF≌△CAE(SAS),
∴AF=CE,∠ACE=∠BAF=45°,
∵∠BAC=90°,
∴∠FAD=45°=∠ECD,
由(1)可知OA=OM,OD∥CM,
∴AD=DC,(圖1中),
在△AFD和△CED中,
,
∴△AFD≌△CED(SAS),
∴DE=DF,
∴BD﹣AE=DE;
(3)如圖3,作EO⊥OP交PG的延長線于E,連接EB、EN、PB,
∵∠EOP=90°,∠EPO=45°,
∴∠OEP=∠EPO=45°,
∴EO=PO,
∵∠EOP=∠BOF=90°,
∴∠EOB=∠POF,
在△EOB和△POF中,
,
∴△EOB≌△POF,
∴EB=PF=PN,∠1=∠OFP,
∵∠2+∠PMO=180°,
∵∠MOF=∠MPF=90°,
∴∠OMP+∠OFP=180°,
∴∠2=∠OFP=∠1,
∴EB∥PN,
∵EB=PN,
∴四邊形ENPB是平行四邊形,
∴BG=GN,
即點G是BN中點.
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【題目】如圖,已知直角坐標平面上的,,,且,,.若拋物線經過、兩點.
求、的值;
將拋物線向上平移若干個單位得到的新拋物線恰好經過點,求新拋物線的解析式;
設中的新拋物的頂點點,為新拋物線上點至點之間的一點,以點為圓心畫圖,當與軸和直線都相切時,聯結、,求四邊形的面積.
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【題目】已知:如圖E在△ABC的邊AC上,且∠AEB=∠ABC.
⑴求證:∠ABE=∠C;
⑵若∠BAE的平分線AF交BE于F,FD∥BC交AC于D,設AB=5,AC=8,求DC的長.
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【題目】如圖,在菱形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,過點D作對角線BD的垂線交BA的延長線于點E.
(1)證明:四邊形ACDE是平行四邊形;
(2)若AC=4,BD=3,求△ADE的周長
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,正三角形OAB的頂點B的坐標為(0,2),點A在第一象限內,將△OAB沿直線OA的方向平移至△O′A′B′的位置,此時點A′的橫坐標為3,則點B′的坐標為( 。
A. (2,4) B. (2,3) C. (3,4) D. (3,3)
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【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AB∥CD.BC∥AD.
(1)求證:△ABC≌△CDA;
(2)△ABC關于對角線AC的對稱圖形為△AEC,EC、AD交于點F,判斷△ACF的形狀并說明理由.
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【題目】如圖,AB為半圓的直徑,O為圓心,C為圓弧上一點,AD垂直于過C點的切線,垂足為D,AB的延長線交直線CD于點E.
(1)求證:AC平分∠DAB;
(2)若BE=2,CE=2,CF⊥AB,垂足為點F.
①求⊙O的半徑;②求CF的長.
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