【題目】在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,點P為BC邊上的一個動點(不與B.C重合)點P關(guān)于直線AC、AB的對稱點分別為M、N,連接MN交AC于點E,交AB于點F.
(1)當(dāng)點P為線段BC的中點時,求∠M的正切值
(2)當(dāng)點P在線段BC上運動時(不與B.C重合),連接AM、AN,求證:
①△AMN為等腰直角三角形
②△AEF∽△BAM
【答案】(1);(2)證明見解析;
【解析】
(1)連接NB,如圖1,先由△ACB為等腰直角三角形得到∠A=∠CBA=45°,則根據(jù)對稱的性質(zhì)得AB垂直PN,BN=BP,則∠NBA=∠PBA=45°,所以∠PBN=90°,接著計算出MC=CP=PB=NB=1,然后利用正切的定義求解
(2)①連接AP,如圖2,利用對稱的性質(zhì)得AP=AM=AN,∠1=∠2,∠3=∠4,則∠MAN=90°,于是可判斷△AMN為等腰直角三角形
②利用△AMN為等腰直角三角形得到∠5=∠6=45°,再證明∠AEF=∠BAM,加上∠B=∠EAF=45°,則根據(jù)相似三角形的判定可判斷△AEF∽△BAM
(1)連接NB,如圖1
∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC
∴△ACB為等腰直角三角形,
∴∠A=∠CBA=45°
∵點P關(guān)于直線AB的對稱點為,關(guān)于直線AC的對稱點為M,
∴AB垂直PN,BN=BP
∴∠NBA=∠PBA=45°
∴∠PBN=90°,
∵點P為BC的中點,BC=2,
∴MC=CP=PB=NB=1
∴tan∠M=
(2)證明:①連接AP,如圖2,
∵點P關(guān)于直線AC、AB的對稱點分別為M、N
∴AP=AM=AN,∠1=∠2,∠3=∠4
∴∠CAB=∠2+∠3=45°
∴∠MAN=90°
∴△AMN為等腰直角三角形
②∵△AMN為等腰直角三角形
∴∠5=∠6=45°
∴∠AEF=∠5+∠1=45°+∠1,
∵∠EAF=45°
∴∠BAM=∠EAF+∠1=45°+∠1
∴∠AEF=∠BAM,
又∵∠B=∠EAF=45°
∴△AEF∽△BAM
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【題目】(2017四川省內(nèi)江市)如圖,已知直線l1∥l2,l1、l2之間的距離為8,點P到直線l1的距離為6,點Q到直線l2的距離為4,PQ=,在直線l1上有一動點A,直線l2上有一動點B,滿足AB⊥l2,且PA+AB+BQ最小,此時PA+BQ=______.
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【題目】下列說法正確的是( )
A. 了解“孝感市初中生每天課外閱讀書籍時間的情況”最適合的調(diào)查方式是全面調(diào)查
B. 甲乙兩人跳繩各10次,其成績的平均數(shù)相等,,則甲的成績比乙穩(wěn)定
C. 三張分別畫有菱形,等邊三角形,圓的卡片,從中隨機(jī)抽取一張,恰好抽到中心對稱圖形卡片的概率是
D. “任意畫一個三角形,其內(nèi)角和是”這一事件是不可能事件
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線軸,且直線l與拋物線和y軸分別交于點A,B,C,點D為拋物線的頂點.若點E的坐標(biāo)為,點A的橫坐標(biāo)為1.
(1)線段AB的長度等于________;
(2)點P為線段AB上方拋物線上的一點,過點P作AB的垂線交AB于點H,點F為y軸上一點,當(dāng)的面積最大時,求的最小值;
(3)在(2)的條件下,刪除拋物線在直線PH左側(cè)部分圖象并將右側(cè)部分圖象沿直線PH翻折,與拋物線在直線PH右側(cè)部分圖象組成新的函數(shù)M的圖象.現(xiàn)有平行于FH的直線,若直線與函數(shù)M的圖象有且只有2個交點,求t的取值范圍(請直接寫出t的取值范圍,無需解答過程).
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【題目】2019年永州市初中體育水平測試進(jìn)行改革,增加了自選項目,學(xué)生可以從籃球運球、足球運球、排球向上墊球三項中必須選一項,另外從一分鐘跳繩、仰臥起坐(女)或引體向上(男)、原地正面擲實心球、立定跳遠(yuǎn)中必須選一項.現(xiàn)對永州市某校的選考項目情況進(jìn)行調(diào)查,對調(diào)查結(jié)果進(jìn)行了分析統(tǒng)計并制作了兩幅統(tǒng)計圖:
項目 | 籃球 | 足球 | 排球 | |||
性別 | 男 | 女 | 男 | 女 | 男 | 女 |
人數(shù) | 30 | 10 | 24 | 12 | 6 | 28 |
平均得分 | 8 | 7 | 8.5 | 6 | 9 | 10 |
(1)補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖;
(2)求抽查的這些男生的體育測試平均分;
(3)若該校準(zhǔn)備從這次體育測試成績好的學(xué)生中選出10名參加全市運動會.現(xiàn)在有19名學(xué)生報名,小明是這19名同學(xué)之一,小明在知道自己這次成績后還需知道這19名學(xué)生成績的______,就能知道自己能不能參加市運動會.
A.平均數(shù)B.眾數(shù)C.中位數(shù)D.方差
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【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣(m+2)x+2m=0.
(1)求證:不論m為何值,該方程總有兩個實數(shù)根;
(2)若直角△ABC的兩直角邊AB、AC的長是該方程的兩個實數(shù)根,斜邊BC的長為3,求m的值.
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【題目】《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作,書中記載:“今有圓材埋壁中,不知大。凿忎徶,深1寸,鋸道長1尺,問經(jīng)幾何?“其意思為:“如圖,今有一圓形木材埋在墻壁中,不知其大小用鋸子去鋸這個木材,鋸口深1寸(即DE=1寸),鋸道長1尺(即弦AB=1尺),問這塊圓形木材的直徑是多少?”該問題的答案是_____(注:1尺=10寸)
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【題目】重慶某大型車輛企業(yè)從去年開始出售“大鼻子安全校車”(以下簡稱校車).經(jīng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn),該校車月銷售量P(輛)與月份x(1≤x≤12且x取整數(shù))之間的函數(shù)關(guān)系如下表所示:
月份x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | … |
月銷售量P(輛) | 66 | 68 | 70 | 72 | 74 | … |
(1)請觀察題中的表格,用所學(xué)過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)或二次函數(shù)的有關(guān)知識,求出P與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若該校車在去年上半年的銷售價格y1(萬元)與月份x之間的函數(shù)關(guān)系式為y1=﹣0.5x+36(1≤x≤6且x取整數(shù));去年下半年的銷售價格y2(萬元)與月份x之間的函數(shù)關(guān)系式為y2=﹣x+39(7≤x≤12且x取整數(shù)).此外,已知生產(chǎn)每輛校車的材料成本為12萬元,人力和其他成本共4萬元.問該企業(yè)去年哪個月銷售校車的利潤最大,并求出這個最大利潤.
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【題目】如圖,點P是正方形ABCD內(nèi)一點,連接AP并延長,交BC于點Q.連接DP.將△ADP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°至△ABP'.連結(jié)PP',若AP=1,PB=2,PD=,則正方形的邊長為( )
A.
B.
C.
D.
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