Question

如圖，在正方形ABCD中，G是CD上一點，延長BC至E，使CE=CG，連接BG并延長交DE于F．
（1）試判斷線段BG與DE有何關(guān)系，并且說明理由．
（2）當正方形ABCD的邊長BC=6，CE=2時，求GF的長．

Answer 1

證明：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC=DC，∠BCD=90°
∵E為BC延長線上的點，
∴∠DCE=90°，
∴∠BCD=∠DCE，
在△BCG和△DCE中，
，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴BG=DE；∠CBG=∠CDE，
∵∠CDE+∠DEC=90°，
∴∠CBG+∠E=90°，即BF⊥DE，
線段BG與DE垂直且相等．
（2）∵∠BCD=90°，
∴△BCG是直角三角形，
∴BG²=BC²+CG²，
∵CE=CG=2，BC=6，
∴BG==2，
∵BC=DC=6，CG=2，
∴DG=DC-CG=4，
∵△BCG≌△DCE，
∴∠GBC=∠GDC，
∵∠BGC=∠DGF，
∴△BGC∽△DGF，
∴，
∴，
GF==．
分析：（1）BG=DE，根據(jù)正方形的四條邊都相等，四個角都是直角可得：BC=CD、∠BCF=∠DCE=90°，又CE=CF，根據(jù)邊角邊定理證明△BCF和△DCE全等，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等即可證明；
（2）由勾股定理和已知數(shù)據(jù)可求出BG的長，利用有兩對角相等的三角形相似可證明：△BGC∽△DGF，利用相似三角形的性質(zhì)可得關(guān)于GF的比例式，把數(shù)據(jù)代入比例式即可求出GF的長．
點評：本題主要考查正方形的四條邊都相等和四個角都是直角的性質(zhì)以及三角形全等的判定和全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)、勾股定理的運用以及相似三角形的判定和性質(zhì)．