【題目】如圖,在ΔABC中,∠BAC=90°,ABAC,點(diǎn)D BC上,且BDBA,點(diǎn)EBC的延長(zhǎng)線上,且CECA,

(1)試求∠DAE的度數(shù).

(2)如果把第(1)題中ABAC的條件舍去,其余條件不變,那么∠DAE的度數(shù)會(huì)改變嗎?

(3)如果把第(1)題中BAC=90°”的條件改為BAC>90°”,其余條件不變,那么∠DAE與∠BAC有怎樣的大小關(guān)系?

【答案】(1)45°;(2)不改變;(3)DAE=BAC

【解析】試題分析:(1)要求∠DAE,必先求∠BAD和∠CAE,由∠BAC=90°,AB=AC,可求∠B=∠ACB=45°,又因?yàn)?/span>BD=BA,可求∠BAD=∠BDA=67.5°,再由CE=CA,可求∠CAE=∠E=22.5°,所以∠DAE=∠BAE-∠BAD=112.5°-67.5°=45度;
(2)先設(shè)∠CAE=x,由已知CA=CE可求∠ACB=∠CAE+∠E=2x,∠B=90°-2x,又因?yàn)?/span>BD=BA,所以∠BAD=∠BDA=x+45°,再根據(jù)三角形的內(nèi)角和是180°,可求∠BAE=90°+x,即∠DAE=∠BAE-∠BAD=(90°+x)-(x+45°)=45度;
(3)可設(shè)∠CAE=x,∠BAD=y,則∠B=180°-2y,∠E=∠CAE=x,所以∠BAE=180°-∠B-∠E=2y-x,∠BAC=∠BAE-∠CAE=2y-x-x=2y-2x,即∠DAE=∠BAC.

試題解析:(1)AB=AC,BAC=90°,

∴∠B=ACB=45°,

BD=BA,

∴∠BAD=BDA=(180°-B)=67.5°,

CE=CA,

∴∠CAE=E=ACB=22.5°,

ABE中,∠BAE=180°-B-E=112.5°,

∴∠DAE=BAE-BAD=112.5°-67.5°=45°;

(2)不改變.

設(shè)∠CAE=x,

CA=CE,

∴∠E=CAE=x,

∴∠ACB=CAE+E=2x,

ABC中,∠BAC=90°,

∴∠B=90°-ACB=90°-2x,

BD=BA,

∴∠BAD=BDA=(180°-B)=x+45°,

ABE中,∠BAE=180°-B-E

=180°-(90°-2x)-x=90°+x,

∴∠DAE=BAE-BAD

=(90°+x)-(x+45°)

=45°;

(3)DAE=BAC,

理由:設(shè)∠CAE=xBAD=y,

則∠B=180°-2y,E=CAE=x,

∴∠BAE=180°-B-E=2y-x,

∴∠DAE=BAE-BAD=2y-x-y=y-x,

BAC=BAE-CAE=2y-x-x=2y-2x,

∴∠DAE=BAC.

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【初步思考】

我們不妨將問題用符號(hào)語(yǔ)言表示為:在ABCDEF中,AC=DF,BC=EF,B=E,然后,對(duì)∠B進(jìn)行分類,可分為B是直角、鈍角、銳角三種情況進(jìn)行探究.

【深入探究】

第一種情況:當(dāng)∠B是直角時(shí),ABC≌△DEF

(1)如圖①,在ABCDEFAC=DF,BC=EF,B=E=90°,根據(jù)______,可以知道RtABCRtDEF

第二種情況:當(dāng)∠B是鈍角時(shí),ABC≌△DEF

(2)如圖②,在ABCDEFAC=DF,BC=EF,B=E,且∠BE都是鈍角,求證:ABC≌△DEF

第三種情況:當(dāng)∠B是銳角時(shí),ABCDEF不一定全等.

(3)在ABCDEF,AC=DF,BC=EF,B=E,且∠B、E都是銳角,請(qǐng)你用尺規(guī)在圖③中作出DEF,使DEFABC不全等.(不寫作法,保留作圖痕跡)

(4)B還要滿足什么條件,就可以使ABC≌△DEF?請(qǐng)直接寫出結(jié)論:在ABCDEF中,AC=DF,BC=EFB=E,且∠B、E都是銳角,若______,則ABC≌△DEF

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