Question

已知：如圖，在□ABCD中，AE是BC邊上的高，將△ABE沿BC方向平移，使點E與點C重合，得△GFC．
（1）求證：BE=DG；
（2）若∠BCD=120°，當AB與BC滿足什么數量關系時，四邊形ABFG是菱形？證明你的結論．

Answer 1

（1）證明見解析；（2），證明見解析.

試題分析：（1）根據平移的性質，可得：BE=FC，再證明Rt△ABE≌Rt△CDG可得：DG=FC；即可得到BE=DG.
（2）要使四邊形ABFG是菱形，須使AB=BF；根據條件找到滿足AB=BF的AB與BC滿足的數量關系即可．
（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB="CD" , AD//BC.
∵AE是BC邊上的高，且CG是由AE沿BC方向平移而成，
∴GC⊥BC, ∴CG⊥AD．∴∠AEB=∠CGD=90?．
∵AE=CG，∴Rt△ABE≌Rt△CDG．∴BE=DG．
（2）當時，四邊形ABFG是菱形．證明如下：
∵GF是由AB沿BC方向平移而成，
∴AB//GF，且AB=GF，∴四邊形ABFG是平行四邊形．
∵在□ABCD中，∠BCD=120°,  ∴∠B=60°．∴∠BAE=30°.
∴Rt△ABE 中，（直角三角形中30°所對直角邊等于斜邊的一半）．
又∵，∴ ．∴AB=BF．
∴四邊形ABFG是菱形．