【題目】如圖1,⊙O是△ABC的外接圓,連接AO,若∠BAC+∠OAB=90°.
(1)求證:
(2)如圖2,作CD⊥AB交于D,AO的延長(zhǎng)線交CD于E,若AO=3,AE=4,求線段AC的長(zhǎng).
【答案】(1)詳見(jiàn)解析;(2)
【解析】
(1)連BO并延長(zhǎng)BO交AC于T.只要證明BT⊥AC,利用垂徑定理即可解決問(wèn)題;
(2)延長(zhǎng)AO并交⊙O于F,連接CF.在Rt△AFC中,求出CF,AF即可解決問(wèn)題.
(1)證明:連BO并延長(zhǎng)BO交AC于T.
∵ AO=BO,
∴∠ OAB=∠ OBA,
又∵ ∠ BAC+∠ OAB=90°,
∴ ∠ BAC+∠ OBA=90°,
∴ ∠ BTA=90°,
∴ BT⊥AC,
∴ .
(2)延長(zhǎng)AO并交O 于F,連接CF.
∵ CD⊥ AB于D,
∴ ∠ CDA=90°,
∴ ∠ OAB+∠ A ED=90°,
∵ ∠ OAB+∠ BAC=90°,
∴ ∠ AED=∠ BAC=∠ FEC,
∵ AF為⊙ O直徑,
∴ ∠ ACF=90°,
同理:∠ FCE=∠ BAC,
∴ ∠ FEC= ∠ FCE,
∴FE=FC,
∵AO=3,AE=4,
∴OE=1,F(xiàn)E=FC=2,
在Rt△FCA中
∴ AC= =4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】“天生霧、霧生露、露生耳”,銀耳是一種名貴食材,富含人體所需的多種氨基酸和微量元素,具有極高的藥用價(jià)值和食用價(jià)值.某銀耳培育基地的銀耳成熟了,需要采摘和烘焙.現(xiàn)準(zhǔn)備承包給甲和乙兩支專(zhuān)業(yè)采摘隊(duì),若承包給甲隊(duì),預(yù)計(jì)12天才能完成,為了減小銀耳因氣候變化等原因帶來(lái)的損失,現(xiàn)決定由甲、乙兩隊(duì)同時(shí)采摘,則可以提前8天完成任務(wù).
(1)若單獨(dú)由乙隊(duì)采摘,需要幾天才能完成?
(2)若本次一共采摘了300噸新鮮銀耳,急需在9天內(nèi)進(jìn)行烘焙技術(shù)處理.已知甲、乙兩隊(duì)每日烘焙量相當(dāng),甲隊(duì)單獨(dú)加工(烘焙)天完成100噸后另有任務(wù),剩下的200噸由乙隊(duì)加工(烘焙),乙隊(duì)剛好在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)完工.若甲、乙兩隊(duì)從采摘到加工,每日工資分別是600元和1000元.問(wèn):銀耳培育基地此次需要支付給采摘隊(duì)的總工資是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,矩形紙片ABCD中,已知AD =8,折疊紙片使AB邊與對(duì)角線AC
重合,點(diǎn)B落在點(diǎn)F處,折痕為AE,且EF=3,則AB的長(zhǎng)為( )
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,有長(zhǎng)為 24m 的籬笆,現(xiàn)一面利用墻(墻的最大可用長(zhǎng)度 a 為 10m)圍成中間隔有一道籬笆的長(zhǎng)方形花圃,設(shè)花圃的寬 AB 為 xm,面積為 Sm2.
(1) 求 S 與 x 的函數(shù)關(guān)系式及 x 值的取值范圍;
(2) 要圍成面積為 45m2 的花圃,AB 的長(zhǎng)是多少米?
(3) 當(dāng) AB 的長(zhǎng)是多少米時(shí),圍成的花圃的面積最大?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,C為⊙O上一點(diǎn),其中AB=4,∠AOC=120°,P為⊙O上的動(dòng)點(diǎn),連AP,取AP中點(diǎn)Q,連CQ,則線段CQ的最大值為( 。
A. 3 B. 1+ C. 1+3 D. 1+
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】拋物線y=x2+(2t﹣2)x+t2﹣2t﹣3與x軸交于A、B兩點(diǎn)(A在B左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C.
(1)如圖1,當(dāng)t=0時(shí),連接AC、BC,求△ABC的面積;
(2)如圖2,在(1)的條件下,若點(diǎn)P為在第四象限的拋物線上的一點(diǎn),且∠PCB+∠CAB=135°,求P點(diǎn)坐標(biāo);
(3)如圖3,當(dāng)﹣1<t<3時(shí),若Q是拋物線上A、C之間的一點(diǎn)(不與A、C重合),直線QA、QB分別交y軸于D、E兩點(diǎn).在Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,是否存在固定的t值,使得CE=2CD.若存在,求出t值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖, 是等邊三角形內(nèi)一點(diǎn),將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段,連接.若,則四邊形的面積為____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知關(guān)于 x 的函數(shù) y=(m﹣1)x2+2x+m 圖象與坐標(biāo)軸只有 2 個(gè)交點(diǎn),則m=_______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,BD平分∠ABC,且AD⊥BD,E為AC的中點(diǎn),AD=6cm,BD=8cm,BC=16cm,則DE的長(zhǎng)為_____cm.
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