Question

【題目】如圖，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝4，D是線(xiàn)段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以AD為直徑作⊙O分別交AB、AC于E、F，連結(jié)EF，則線(xiàn)段EF長(zhǎng)度的最小值為_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

由垂線(xiàn)段的性質(zhì)可知，當(dāng)AD為△ABC的邊BC上的高時(shí)，直徑AD最短，此時(shí)線(xiàn)段EF=2EH=2OEsin∠EOH=2OEsin60°，當(dāng)半徑OE最短時(shí)，EF最短，連接OE，OF，過(guò)O點(diǎn)作OH⊥EF，垂足為H，在Rt△ADB中，解直角三角形求直徑AD，由圓周角定理可知∠EOH=∠EOF=∠BAC=60°，在Rt△EOH中，解直角三角形求EH，由垂徑定理可知EF=2EH，即可求出答案．

由垂線(xiàn)段的性質(zhì)可知，當(dāng)AD為△ABC的邊BC上的高時(shí)，直徑AD最短，

如圖，連接OE，OF，過(guò)O點(diǎn)作OH⊥EF，垂足為H，

∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=4，

∴AD=BD=2，即此時(shí)圓的直徑為2，

由圓周角定理可知∠EOH=∠EOF=∠BAC=60°，

∴在Rt△EOH中，EH=OEsin∠EOH=，

由垂徑定理可知EF=2EH=，

故答案為：．