Question

如圖，已知一次函數y=-x+2的圖象與x軸交于點A，與y軸交于點C．
（1）求∠CAO的度數；
（2）若將直線y=-x+2沿x軸向右平移兩個單位，試求出平移后的直線的解析式；
（3）若正比例函數y=kx（k≠0）的圖象與y=-x+2的圖象交于點B，且∠ABO=30°，求AB的長及點B的坐標．

Answer 1

解：（1）對于一次函數y=-x+2，
令x=0，求出y=2；令y=0，求出x=2，
∴A（2，0），C（0，2），即OA=OC=2，
∴△AOC為等腰直角三角形，
∴∠CAO=45°；

（2）利用平移規(guī)律得：平移后的直線解析式為y=-（x-2）+2=-x+4；

（3）根據題意畫出相應的圖形，過B作BD⊥x軸，交x軸于點D，
在△AOB中，∠ABO=30°，∠BAO=45°，
∴∠AOB=105°，
∵k=tan105°=tan（45°+60°）===-2-，
∴直線OB解析式為y=（-2-）x，
聯(lián)立兩函數解析式得：，
解得：，
∴B（1-，1+），即BD=1+，
∵△ABD為等腰直角三角形，
∴AB=BD=（1+）=+．
分析：（1）對于一次函數解析式，分別令y與x為0，求出對應x與y的值，確定出A與C坐標，得到AO=CO，即三角形AOC為等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性質即可求出∠CAO的度數；
（2）利用平移規(guī)律：“左加右減”，即可確定出平移后的直線解析式；
（3）根據題意畫出圖形，求出直線y=kx的傾斜角，利用傾斜角與斜率的關系求出斜率k，確定出y=kx解析式，與y=-x+2聯(lián)立即可求出B的坐標，進而求出AB的長．
點評：此題考查了一次函數綜合題，涉及的知識有：一次函數與坐標軸的交點，等腰直角三角形的判定與性質，直線傾斜角與斜率的關系，兩直線的交點坐標，以及平移規(guī)律，確定出直線OB解析式是解第三問的關鍵．