【題目】如圖1,△ACB和△DCE均為等邊三角形,點A. D.E在同一直線上,連接BE.

填空:(1),①∠AEB的度數(shù)為 ;②線段AD、BE之間的數(shù)量關(guān)系是 ;

(2)拓展探究:如圖2,ACB和△DCE均為等腰直角三角形,ACB=DCE=90°,點A、DE在同一直線上,且交BC于點F,連接BE.若∠CAF=BAF,BE=2,試求AF的長.

【答案】1)①60°;②AD=BE;(24.

【解析】

1)由條件易證ACD≌△BCE,從而得到:AD=BE,∠ADC=BEC.由點A,D,E在同一直線上可求出∠ADC,從而可以求出∠AEB的度數(shù);

2)仿照(1)中的解法可求出∠AEB的度數(shù),延長BEAC的延長線于點G,推出ACF≌△BCG,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AF=BG,由于∠CAF=BAF,∠AEB=90°,求得EBG的中點,即可求出AF=4.

(1)①如圖1,

∵△ACBDCE均為等邊三角形,

CA=CB,CD=CE,ACB=DCE=60°.

∴∠ACD=BCE.

ACDBCE中,

,

∴△ACD≌△BCE(SAS).

∴∠ADC=BEC.

∵△DCE為等邊三角形,

∴∠CDE=CED=60°.

∵點A,D,E在同一直線上,

∴∠ADC=120°.

∴∠BEC=120°.

∴∠AEB=BECCED=60°.

故答案為:60°.

②∵△ACD≌△BCE,

AD=BE.

故答案為:AD=BE

(2)∵△ACBDCE均為等腰直角三角形,

CA=CB,CD=CE,ACB=DCE=90°.

∴∠ACD=BCE.

ACDBCE中,

,

∴△ACD≌△BCE(SAS).

AD=BE,∠ADC=BEC.

∵△DCE為等腰直角三角形,

∴∠CDE=CED=45°.

∵點A,D,E在同一直線上,

∴∠ADC=135°.

∴∠BEC=135°.

∴∠AEB=BECCED=90°;

延長BEAC的延長線于點G,

ACFBCG,

,

∴△ACF≌△BCG,

AF=BG,

∵∠CAF=BAF,AEB=90°,

EBG的中點,

BE=2,

AF=4.

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