Question

11．如圖，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，將矩形沿AC折疊，點(diǎn)D落在點(diǎn)D′處．
（1）求重疊部分△AFC的面積．
（2）點(diǎn)P為線段AC上任意一點(diǎn)，PM⊥AE于點(diǎn)M，PN⊥EC于N，試求PM+PN的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形的性質(zhì)和翻折變換的性質(zhì)得到AF=CF，設(shè)AF=x，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可求出AF，根據(jù)三角形面積公式計算即可；
（2）連接PF，根據(jù)三角形的面積公式解答即可．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，AB∥CD，
∴∠DCA=∠BAC，
∵矩形沿AC折疊，點(diǎn)D落在點(diǎn)E處，
∴△ACD≌△ACE，
∴∠DCA=∠ECA，
∴∠BAC=∠ECA，
∴AF=CF，
設(shè)AF=CF=x，則BF=8-x，
在Rt△BCF中，根據(jù)勾股定理得：BC²+BF²=CF²，
即4²+（8-x）²=x²，
解得：x=5，
∴AF=5，
∴S_△ACF=$\frac{1}{2}$AF•BC=$\frac{1}{2}$×5×4=10；
（2）連接PF，
$\frac{1}{2}$×AF×PM+$\frac{1}{2}$×CF×PN=S_△ACF=10，
∴PM+PN=4．

點(diǎn)評 本題考查的是翻折變換的性質(zhì)，翻折變換是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．