【題目】(10分)如圖1,在△ABC中,∠ACB為銳角,點D為射線BC上一點,連接AD,以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF.(提示:正方形的四條邊都相等,四個角都是直角)
(1)如果AB=AC,∠BAC=90°,
①當點D在線段BC上時(與點B不重合),如圖2,線段CF、BD所在直線的位置關(guān)系為______,線段CF、BD的數(shù)量關(guān)系為______;
②當點D在線段BC的延長線上時,如圖3,①中的結(jié)論是否仍然成立,并說明理由;
(2)如果AB≠AC,∠BAC是銳角,點D在線段BC上,當∠ACB滿足 條件時,CF⊥BC(點C、F不重合),并說明理由.
【答案】(1)垂直,相等;(2)45°
【解析】試題分析:(1)①證明△BAD≌△CAF,可得:BD=CF,∠B=∠ACF=45°,則∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°,所以BD與CF相等且垂直;②①的結(jié)論仍成立,同理證明△DAB≌△FAC,可得結(jié)論:垂直且相等;
(2)、當∠ACB滿足45°時,CF⊥BC;如圖4,作輔助線,證明△QAD≌△CAF,即可得出結(jié)論.
試題解析:(1)、①CF與BD位置關(guān)系是垂直,數(shù)量關(guān)系是相等,
理由是: 如圖2,∵四邊形ADEF是正方形, ∴AD=AF,∠DAF=90°, ∴∠DAC+∠CAF=90°, ∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠BAD+∠DAC=90°,且∠B=∠ACB=45°,∴∠CAF=∠BAD, ∴△BAD≌△CAF,
∴BD=CF,∠B=∠ACF=45°, ∴∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°,即∠BCF=90°,∴BC⊥CF,即BD⊥CF;
②當點D在BC的延長線上時,①的結(jié)論仍成立,理由是:
如圖3,由正方形ADEF得AD=AF,∠DAF=90°, ∵∠BAC=90°, ∴∠DAF=∠BAC,
∴∠DAB=∠FAC, 又∵AB=AC, ∴△DAB≌△FAC, ∴CF=BD, ∠ACF=∠ABD,
∵∠BAC=90°,AB=AC, ∴∠ABC=45°, ∴∠ACF=∠ABC=45° ∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°,
即CF⊥BD;
(2)、當∠BCA=45°時,CF⊥BD,理由是: 如圖4,過點A作AQ⊥AC,交BC于點Q, ∵∠BCA=45°, ∴∠AQC=45°, ∴∠AQC=∠BCA, ∴AC=AQ,
∵AD=AF,∠QAC=∠DAF=90°, ∴∠QAC﹣∠DAC=∠DAF﹣∠DAC, ∴∠QAD=∠CAF,
∴△QAD≌△CAF, ∴∠ACF=∠AQD=45°, ∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°, 即CF⊥BD.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】小明和小慧兩位同學在數(shù)學活動課中,把長為30cm,寬為10cm的長方形白紙條粘合起來,小明按如圖甲所示的方法粘合起來得到長方形ABCD,粘合部分的長度為6cm,小慧按如圖乙所示的方法粘合起來得到長方形A1B1C1D1 , 黏合部分的長度為4cm.若長為30cm,寬為10cm的長方形白紙條共有100張,則小明應分配到張長方形白紙條,才能使小明和小慧按各自要求黏合起來的長方形面積相等(要求100張長方形白紙條全部用完).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,有下列判斷:①∠A與∠1是同位角;②∠A與∠B是同旁內(nèi)角;③∠4與∠1是內(nèi)錯角;④∠1與∠3是同位角. 其中正確的是(填序號).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】清朝康熙皇帝是我國歷史上對數(shù)學很有興趣的帝王近日,西安發(fā)現(xiàn)了他的數(shù)學專著,其中有一文《積求勾股法》,它對“三邊長為3、4、5的整數(shù)倍的直角三角形,已知面積求邊長”這一問題提出了解法:“若所設者為積數(shù)(面積),以積率六除之,平方開之得數(shù),再以勾股弦各率乘之,即得勾股弦之數(shù)”.用現(xiàn)在的數(shù)學語言表述是:“若直角三角形的三邊長分別為3、4、5的整數(shù)倍,設其面積為S,則第一步: =m;第二步: =k;第三步:分別用3、4、5乘以k,得三邊長”.
(1)當面積S等于150時,請用康熙的“積求勾股法”求出這個直角三角形的三邊長;
(2)你能證明“積求勾股法”的正確性嗎?請寫出證明過程.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(1)四年一度的國際數(shù)學家大會于2002年8月20日在北京召開,大會會標如圖8,它是由四個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形.若大正方形的面積為13,每個直角三角形兩直角邊的和是5,求中間小正方形的面積.
(2)現(xiàn)有一張長為6.5cm,寬為2cm的紙片,如圖9,請你將它分割成6塊,再拼合成一個正方形.(要求:先在圖9中畫出分割線,再畫出拼成的正方形并標明相應數(shù)據(jù))
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】a是一個兩位數(shù),b是一個三位數(shù),把a放在b的右邊組成一個五位數(shù),用a,b的代數(shù)式表示所得的五位數(shù)是( )
A. ba B. 10b+a C. 10000b+a D. 100b+a
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】計算:
(1)|﹣2|﹣(2﹣π)0++(﹣2)3
(2)(﹣2x3)2(﹣x2)÷[(﹣x)2]3
(3)(x+y)2(x﹣y)2
(4)(x﹣2y+3z)(x+2y﹣3z)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖1,在平面直角坐標系xOy中,點B(﹣2,2),過反比例函數(shù)y=(x<0,常數(shù)k<0)圖象上一點A(﹣,m)作y軸的平行線交直線l:y=x+2于點C,且AC=AB.
(1)分別求出m、k的值,并寫出這個反比例函數(shù)解析式;
(2)發(fā)現(xiàn):過函數(shù)y=(x<0)圖象上任意一點P,作y軸的平行線交直線l于點D,請直接寫出你發(fā)現(xiàn)的PB,PD的數(shù)量關(guān)系 ;
應用:①如圖2,連接BD,當△PBD是等邊三角形時,求此時點P的坐標;
②如圖3,分別過點P、D作y的垂線交y軸于點E、F,問是否存在點P,使得矩形PEFD的周長取得最小值?若存在,請求出此時點P的坐標及矩形PEFD的周長;若不存在,請說明理由.
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