Question

在△ABC中，∠A=90°，AB=8，BC=10，點(diǎn)M、N分別在AB、AC上．
（1）若M、N分別在AB、AC的中點(diǎn)，求MN的長(zhǎng)；
（2）若MN∥BC，以MN為直徑的⊙O與直線BC相切，求⊙O的半徑（精確到0.1）．

Answer 1

解：（1）∵M(jìn)、N分別在AB、AC的中點(diǎn)，
∴MN=BC=5；

（2）設(shè)MN=2R，作AF⊥BC，交MN于點(diǎn)E，則AE⊥MN，
在R t△ABC中，由勾股定理得，AC=6，
由直角三角形的面積公式可得AF=4.8；
∵M(jìn)N∥BC，
∴△AMN∽△ABC，得：MN：BC=AE：AF，
∴2R：10=AE：AH，
∴AE=0.96R；
∵⊙O與直線BC相切，
∴4.8-0.96R=R，
解得R≈2.4．
分析：（1）M、N分別為AB、AC的中點(diǎn)，即MN是△ABC的中位線，由此可求出MN的長(zhǎng)；
（2）作AF⊥BC，交MN于點(diǎn)E，則AE⊥MN，易求得Rt△ABC斜邊BC的長(zhǎng)，那么可根據(jù)直角三角形面積的不同表示方法求出AF的長(zhǎng)，由于以MN為直徑的圓與BC相切，可用⊙O的半徑分別表示出MN、AE的長(zhǎng)，然后根據(jù)△AMN∽△ABC，將R的值求出．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查的是三角形中位線定理、勾股定理、切線的性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)．