Question

16．如圖，在直角坐標(biāo)系中，圓A與x軸交于點(diǎn)B、C，與y軸相切于點(diǎn)D，拋物線y=$\frac{1}{4}{x^2}-\frac{5}{2}$x+4經(jīng)過B、C、D三點(diǎn)．
（1）求圓心A的坐標(biāo)；
（2）證明：直線y=-$\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}$與圓A相切于點(diǎn)B；
（3）在x軸下方的拋物線上，是否存在一點(diǎn)F，使△CDF的面積最大，若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)垂徑定理，可得圓心在弦的垂直平分線上，根據(jù)切線的性質(zhì)，可得圓心在過切點(diǎn)的直線上，可得答案；
（2）根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得∠ABH=∠ADH，根據(jù)切線的判定，可得答案；
（3）根據(jù)平行于y軸的直線上兩點(diǎn)間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較小的縱坐標(biāo)，三角形面積的和差，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案．

解答 解：（1）令$\frac{1}{4}{x^2}-\frac{5}{2}x+4=0$，即（x-2）（x-8）=0，解得x₁=2，x₂=8，
∴拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為B（2，0），C（8，0），與y軸交于點(diǎn)D（0，4），
∵BC的中點(diǎn)為（5，0），圓心A在BC的垂直平分線上，
∴點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為5，
∵圓A與y軸相切于點(diǎn)D，連結(jié)AD，則AD平行于x軸，
∴點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（5，4）；                  
（2）證明：如圖1，
，
直線$y=-\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}$與y軸交于點(diǎn)H為（0，$\frac{3}{2}$），
與x軸的交點(diǎn)B（2，0）在圓上，
連結(jié)AB，AD，AH，
$BH=\sqrt{O{B^2}+O{H^2}}=\sqrt{{2^2}+{{（\frac{3}{2}）}^2}}=\frac{5}{2}$，
$DH=OD-OH=4-\frac{3}{2}=\frac{5}{2}$，
在△ABH和△ADH中，
$\left\{\begin{array}{l}{BH=DH}\\{AD=AB}\\{AH=AH}\end{array}\right.$，
∴△ABH≌△ADH（SSS），
∴∠ABH=∠ADH，
∵圓A與y軸相切于點(diǎn)D，∴∠ADH=90°，
∴∠ABH=∠ADH=90°，
直線$y=-\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}$與圓A相切于點(diǎn)B； 
（3）存在點(diǎn)F使△CDF的面積最大． 
如圖2，

連結(jié)CD，DF，CF，
設(shè)CD的解析式為y=kx+b，將C、D點(diǎn)坐標(biāo)代入，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
故CD的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+4．
設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（t，$\frac{1}{4}{t^2}-\frac{5}{2}t+4$），設(shè)G點(diǎn)坐標(biāo)為（t，-$\frac{1}{2}$t+4），（2＜t＜8），
FG=-$\frac{1}{2}$t+4-（$\frac{1}{4}{t^2}-\frac{5}{2}t+4$）=-$\frac{1}{4}$t²+2t，
S_△CDF=S_△DFG+S_△CFG=$\frac{1}{2}$FG•x_E+$\frac{1}{2}$FG•（x_c-x_E）=$\frac{1}{2}$FG•x_C=$\frac{1}{2}$×8×（-$\frac{1}{4}$t²+2t）
=-t²+8t=-（t-4）²+16，
當(dāng)t=4時(shí)，$\frac{1}{4}{t^2}-\frac{5}{2}t+4$=-2
當(dāng)t=4時(shí)，△DCF的面積最大，此時(shí)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4，-2）．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用垂徑定理、切線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵；利用全等三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵；利用面積的和差得出二次函數(shù)是解題關(guān)鍵．