Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，經(jīng)過點(diǎn)A，C，B的拋物線的一部分與經(jīng)過點(diǎn)A，E，B的拋物線的一部分組合成一條封閉曲線，我們把這條封閉曲線稱為“雙拋物線”．已知P為AB中點(diǎn)，且P（-1，0），C（

2

-1，1），E（0，-3），S_△CPA=1．
（1）試求“雙拋物線”中經(jīng)過點(diǎn)A，E，B的拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)F在“雙拋物線”上，且S_△FAP=S_△CAP，請你直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（3）如果一條直線與“雙拋物線”只有一個交點(diǎn)，那么這條直線叫做“雙拋物線”的切線．若過點(diǎn)E與x軸平行的直線與“雙拋物線”交于點(diǎn)G，求經(jīng)過點(diǎn)G的“雙拋物線”切線的解析式．

Answer 1

分析：（1）已知了△APC的面積和點(diǎn)C的縱坐標(biāo)，即可得到AP的長，進(jìn)而可根據(jù)P點(diǎn)坐標(biāo)，求出A、B的坐標(biāo)，從而利用待定系數(shù)法求得過A、E、B三點(diǎn)的拋物線解析式．
（2）顯然C點(diǎn)關(guān)于雙拋物線的對稱軸的對稱點(diǎn)符合點(diǎn)F的要求，其坐標(biāo)易求得；若F、C的縱坐標(biāo)互為想法是，則F點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-1，將其代入過A、E、B三點(diǎn)的拋物線的解析式中，即可求得另兩個點(diǎn)F的坐標(biāo)．
（3）由于E、G關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，易求得G點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出經(jīng)過點(diǎn)G的切線的解析式，將點(diǎn)G的坐標(biāo)代入該直線的解析式中，即可消去一個未知數(shù)，然后聯(lián)立（1）所得拋物線的解析式，由于兩個函數(shù)只有一個交點(diǎn)，那么所得方程的根的判別式△=0，可據(jù)此求出該切線的解析式．

解答：解：（1）∵S_△ACP=

1

2

AP•|y_C|=1，由題意知：|y_C|=1，
∴AP=2，即A（-3，0）；
由于A、B關(guān)于點(diǎn)P對稱，則B（1，0）；
設(shè)經(jīng)過A、E、B的拋物線的解析式為：y=a（x+3）（x-1），則有：
a（0+3）（0-1）=-3，a=1，
故所求拋物線的解析式為：y=（x+3）（x-1）=x²+2x-3．

（2）由于△PAC和△PAF同底，若S_△FAP=S_△CAP，那么C、F的縱坐標(biāo)的絕對值相同；
當(dāng)F點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1時(shí)，C、F關(guān)于直線x=-1對稱，則F（-

2

-1，1）；
當(dāng)F點(diǎn)縱坐標(biāo)為-1時(shí)，代入y=x²+2x-3中，得：x²+2x-3=-1，
解得x=-1±

3

；
故F（-1+

3

，-1）或（-1-

3

，-1）；
綜上可知：存在符合條件的F點(diǎn)，且坐標(biāo)為：F₁（-

2

-1，1）、F₂（-1+

3

，-1）、F₃（-1-

3

，-1）．

（3）由于EG∥x軸，則E、G關(guān)于直線x=-1對稱，故G（-2，-3）；
設(shè)經(jīng)過點(diǎn)G的“雙拋物線”的切線的解析式為：y=kx+b，
則有：-2k+b=-3，b=2k-3；
∴y=kx+2k-3；
由于G點(diǎn)同時(shí)在切線和拋物線的圖象上，
則有：x²+2x-3=kx+2k-3，
即x²+（2-k）x-2k=0，
由于兩個函數(shù)只有一個交點(diǎn)，則：
△=（2-k）²+8k=0，
解得k=-2；
故所求切線的解析式為：y=-2x-7．

點(diǎn)評：此題主要考查了三角形面積的計(jì)算方法、二次函數(shù)的對稱性、二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的求法以及根的判別式等重要知識，涉及的知識面廣，難度較大．