Question

18．兩個(gè)反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$和y=$\frac{1}{x}$在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，點(diǎn)P在y=$\frac{k}{x}$的圖象上，PC⊥x軸于點(diǎn)C，交y=$\frac{1}{x}$的圖象于點(diǎn)A，PD⊥y軸于點(diǎn)D，交y=$\frac{k}{x}$的圖象于點(diǎn)B，當(dāng)點(diǎn)P在y=$\frac{1}{x}$的圖象上運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（　�。�

• A． △ODB與△OCA的面積相等
• B． 當(dāng)點(diǎn)A是PC的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)B一定是PD的中點(diǎn)．
• C． 只有當(dāng)四邊形OCPD為正方形時(shí)，四邊形PAOB的面積最大
• D． $\frac{CA}{PA}$=$\frac{DB}{PB}$

Answer 1

分析 根據(jù)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，特別是根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一進(jìn)行分析，即可得出正確答案．

解答 解：A、由于點(diǎn)A和點(diǎn)D均在同一個(gè)反比例函數(shù)y=$\frac{1}{x}$的圖象上，所以S_△ODB=$\frac{1}{2}$，S_△OCA=$\frac{1}{2}$；故△ODB與△OCA的面積相等，故本選項(xiàng)正確；
B、連接OP，點(diǎn)A是PC的中點(diǎn)，
則△OAP和△OAC的面積相等，
∵△ODP的面積=△OCP的面積=$\frac{k}{2}$，△ODB與△OCA的面積相等，
∴△OBP與△OAP的面積相等，
∴△OBD和△OBP面積相等，
∴點(diǎn)B一定是PD的中點(diǎn)，故本選項(xiàng)正確；
C、由于矩形OCPD、三角形ODB、三角形OCA為定值，則四邊形PAOB的面積不會(huì)發(fā)生變化，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、設(shè)P（m，$\frac{k}{m}$），則A（m，$\frac{1}{m}$），B（$\frac{m}{k}$，$\frac{k}{m}$），則CA=$\frac{1}{m}$，PA=$\frac{k}{m}$-$\frac{1}{m}$，DB=$\frac{m}{k}$，PB=m-$\frac{m}{k}$，
故$\frac{CA}{PA}$=$\frac{\frac{1}{m}}{\frac{k}{m}-\frac{1}{m}}$=$\frac{1}{k-1}$，$\frac{DB}{PB}$=$\frac{\frac{m}{k}}{m-\frac{m}{k}}$=$\frac{1}{k-1}$，所以$\frac{CA}{PA}$=$\frac{DB}{PB}$，故D正確．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)的綜合題，關(guān)鍵是設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)與點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，反比例函數(shù)的性質(zhì)表示相關(guān)線段的長(zhǎng)，對(duì)每一個(gè)結(jié)論進(jìn)行判斷．