Question

已知雙曲線y₁=

k

x

（k＜0）與y₂=

2

x

（x＞0），過y₂圖象上任意一點(diǎn)A作x軸、y軸的平行線分別交兩坐標(biāo)軸于D、E兩點(diǎn)，交y₁圖象于B、C兩點(diǎn)，直線BC分別交兩坐標(biāo)軸于M、N兩點(diǎn)，若△OMN的面積為1，求k的值．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，

2

m

），則可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（

mk

2

，

2

m

），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m，

k

m

），求出直線BC的解析式，可得出OM的長(zhǎng)度，易得△MON∽△CBA，利用面積比等于相似比平方可得出結(jié)論．

解答：解：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，

2

m

），則可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（

mk

2

，

2

m

），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m，

k

m

），
設(shè)直線BC的解析式為y=ax+b（a≠0），將B、C的坐標(biāo)代入可得：

mk 2 a+b= 2 m ma+b= k m

，
解得：

a=- 2 m2 b= k+2 m

，
∴直線BC的解析式為y=-

2

m2

x+

k+2

m

，
則可得OM=-

k+2

m

，
∵A（m，

2

m

），C（m，

k

m

），
∴AC=

2

m

-

k

m

=

2-k

m

，
∵A（m，

2

m

），B（

mk

2

，

2

m

），
∴AB=m-

mk

2

=

m(2-k)

2

，
∴S_△CBA=

1

2

AB×BC=

1

2

×

2-k

m

×

m(2-k)

2

=

(2-k)2

4

，
∵OM∥AC，
∴△MON∽△CBA，
∴

S△MON

S△CBA

=（

OM

BC

）²，即

S△MON

(2-k)2 4

=（

- 2+k m

2-k m

）²，
∴S_△MON=

(2+k)2

4

=1，解得k=0（舍去）或k=-4．
故k的值是-4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)及一次函數(shù)的綜合題，解答本題的關(guān)鍵是設(shè)出各點(diǎn)的坐標(biāo)，利用相似三角形的面積比等于相似比平方得出關(guān)系式求解，計(jì)算量較大，注意細(xì)心運(yùn)算．