Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=-

1

3

x²+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（-1，1）和點(diǎn)B（2，2），該函數(shù)圖象的對稱軸與直線OA、OB分別交于點(diǎn)C和點(diǎn)D．
（1）b=

2

3

，c=

2

；對稱軸是直線

x=1

；
（2）如果點(diǎn)P在直線AB上，且△POB與△BCD相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式即可；
（2）先利用直線OA的表達(dá)式y(tǒng)=-x，得出點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，-1），則AB=BC，OA=OC，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出∠ABO=∠CBO．然后分兩種情況進(jìn)行討論：①∠BOP=∠BDC，②∠BOP=∠BCD，進(jìn)而分析得出P點(diǎn)坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）根據(jù)題意得：

- 1 3 -b+c=1 - 4 3 +2b+c=2

，
解得：

b= 2 3 c=2

，
則所求的二次函數(shù)的解析式是：y=-

1

3

x²+

2

3

x+2，
對稱軸是：x=1；

（2）直線OA的解析式是y=-x，得點(diǎn)C的坐標(biāo)是（1，-1）．
∵AB=

10

，BC=

10

，
∴AB=BC，
又∵OA=

2

，OC=

2

，
∴OA=OC，
∴∠ABO=∠CBO．
由直線OB的表達(dá)式y(tǒng)=x，得點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，1）．
由直線AB的表達(dá)式：y=

1

3

x+

4

3

，
得直線與x軸的交點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-4，0）．
∵△POB與△BCD相似，∠ABO=∠CBO，
∴∠BOP=∠BDC或∠BOP=∠BCD．
①當(dāng)∠BOP=∠BDC時，由∠BDC=135°，得∠BOP=135°．
∴點(diǎn)P不但在直線AB上，而且也在x軸上，即點(diǎn)P與點(diǎn)E重合．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-4，0）．
②當(dāng)∠BOP=∠BCD時，
由△BOP∽△BCD，得：

BP

BO

=

BD

BC

．
而BO=2

2

，BD=

2

，BC=

10

，
∴BP=

2 10

5

，
又∵BE=2

10

，
∴PE=

8 10

5

，
作PH⊥x軸，垂足是H，BF⊥x軸，垂足是F．
∵PH∥BF，
∴

PH

BF

=

PE

BE

=

EH

EF

，而BF=2，EF=6，
∴PH=

8

5

，EH=

24

5

．
∴OH=

4

5

．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（

4

5

，

8

5

）．
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-4，0）或（

4

5

，

8

5

）．

點(diǎn)評：此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及相似三角形的性質(zhì)和二次函數(shù)綜合應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合以及分類討論求出是解題關(guān)鍵．