Question

【題目】如圖，已知拋物線y=（x+2）（x﹣4）與x軸交于點A、B（點A位于點B的左側(cè)），與y軸交于點C，CD∥x軸交拋物線于點D，M為拋物線的頂點．

（1）求點A、B、C的坐標(biāo)；

（2）設(shè)動點N（﹣2，n），求使MN+BN的值最小時n的值；

（3）P是拋物線上一點，請你探究：是否存在點P，使以P、A、B為頂點的三角形與△ABD相似（△PAB與△ABD不重合）？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）點C（0，﹣）　�。�2）﹣　�。�3）（﹣4，2）或（6，2）或（0，﹣）

【解析】（1）令y=0可求得點A、點B的橫坐標(biāo)，令x=0可求得點C的縱坐標(biāo)；

（2）根據(jù)兩點之間線段最短作M點關(guān)于直線x=﹣2的對稱點M′，當(dāng)N（﹣2，N）在直線M′B上時，MN+BN的值最�。�

（3）需要分類討論：△PAB∽△ABD、△PAB∽△ABD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得PB的長度，然后可求得點P的坐標(biāo)．

解：（1）令y=0得x1=﹣2，x2=4，

∴點A（﹣2，0）、B（4，0）

令x=0得y=﹣，

∴點C（0，﹣）

（2）將x=1代入拋物線的解析式得y=﹣

∴點M的坐標(biāo)為（1，﹣）

∴點M關(guān)于直線x=﹣2的對稱點M′的坐標(biāo)為（﹣5，）

設(shè)直線M′B的解析式為y=kx+b

將點M′、B的坐標(biāo)代入得：

解得：

所以直線M′B的解析式為y=×．

將x=﹣2代入得：y=﹣，

所以n=﹣．

（3）過點D作DE⊥BA，垂足為E．

由勾股定理得：

AD===3，

BD===，

如下圖，①當(dāng)P1AB∽△ADB時，

=即：=，

∴P1B=6

過點P1作P1M1⊥AB，垂足為M1．

∴=即：=

解得：P1M1=6，

∵=即：=

解得：BM1=12

∴點P1的坐標(biāo)為（﹣8，6）

∵點P1不在拋物線上，所以此種情況不存在；

②當(dāng)△P2AB∽△BDA時，=即：=

∴P2B=6，

過點P2作P2M2⊥AB，垂足為M2．

∴=，即：=

∴P2M2=2，

∵=，即：=

∴M2B=8

∴點P2的坐標(biāo)為（﹣4，2）

將x=﹣4代入拋物線的解析式得：y=2，

∴點P2在拋物線上．

由拋物線的對稱性可知：點P2與點P4關(guān)于直線x=1對稱，

∴P4的坐標(biāo)為（6，2），

當(dāng)點P3位于點C處時，兩三角形全等，所以點P3的坐標(biāo)為（0，﹣），

綜上所述點P的坐標(biāo)為：（﹣4，2）或（6，2）或（0，﹣）時，以P、A、B為頂點的三角形與△ABD相似．

“點睛”本題綜合考查了二次函數(shù)、一次函數(shù)、軸對稱…路徑最短、相似三角形的性質(zhì)，難度較大，利用相似三角形的性質(zhì)求得PB的長是解題的關(guān)鍵，解答本題需要注意的是在不確定相似三角形的對應(yīng)角和對應(yīng)邊的情況下分類討論，不要漏解.