Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，AD=4cm，∠A=60°，BD⊥AD．一動點P從A出發(fā)，以每秒1cm的速度沿A→B→C的路線勻速運動，過點P作直線PM，使PM⊥AD．

（1）當點P運動2秒時，設直線PM與AD相交于點E，求△APE的面積；

（2）當點P運動2秒時，另一動點Q也從A出發(fā)沿A→B→C的路線運動，且在AB上以每秒1cm的速度勻速運動，在BC上以每秒2cm的速度勻速運動．過Q作直線QN，使QN∥PM．設點Q運動的時間為t秒（0≤t≤10），直線PM與QN截平行四邊形ABCD所得圖形的面積為Scm²．

①求S關于t的函數(shù)關系式；

②（附加題）求S的最大值．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）①；

②當0≤t≤6時，S的最大值為；

當6≤t≤8時，S的最大值為；

當8≤t≤10時，S的最大值為；

所以當t=8時，S有最大值為．

【解析】

試題分析：（1）在三角形AEP中，AP=2，∠A=60°，利用三角函數(shù)可求出AE和PE，即可求出面積；

（2）①此題應分情況討論，因為兩個動點運動速度不同，所以有點P與點Q都在AB上運動、點P在BC上運動點Q仍在AB上運動、點P和點Q都在BC上運動三種情況，在每種情況下可利用三角函數(shù)分別求出我們所需要的值，進而求解．

②在①的基礎上，首先①求出函數(shù)關系式之后，根據(jù)t的取值范圍不同函數(shù)最大值也不同．

(1) 當點P運動2秒時，AP=2 cm，由∠A=60°，知AE=1，PE=.

∴ S_ΔAPE=.

(2) ① 當0≤t≤6時，點P與點Q都在AB上運動，設PM與AD交于點G，QN與AD交于點F，則AQ=t，AF=，QF=，AP=t+2，AG=1+，PG=.

∴ 此時兩平行線截平行四邊形ABCD的面積為S=.

當6≤t≤8時，點P在BC上運動，點Q仍在AB上運動. 設PM與DC交于點G，QN與AD交于點F，則AQ=t，AF=，DF=4-，QF=，BP=t-6，CP=10-t，PG=，

而BD=，故此時兩平行線截平行四邊形ABCD的面積為S=.

當8≤t≤10時，點P和點Q都在BC上運動. 設PM與DC交于點G，QN與DC交于點F，則CQ=20-2t，QF=(20-2t)，CP=10-t，PG=.

∴ 此時兩平行線截平行四邊形ABCD的面積為S=.

故S關于t的函數(shù)關系式為

②(附加題)當0≤t≤6時，S的最大值為；

當6≤t≤8時，S的最大值為；

當8≤t≤10時，S的最大值為；

所以當t=8時，S有最大值為．

考點：本題考查的是二次函數(shù)的應用

點評：此題為數(shù)學建模題，借助二次函數(shù)解決實際問題．結(jié)合實際問題并從中抽象出函數(shù)模型，試著用函數(shù)的知識解決實際問題，學會數(shù)形結(jié)合解答二次函數(shù)的相關題型．