Question

3．某工廠在生產(chǎn)過(guò)程中每消耗1萬(wàn)度電可以產(chǎn)生產(chǎn)值5.5萬(wàn)元，電力公司規(guī)定，該工廠每月用電量不得超過(guò)16萬(wàn)度；月用電量不超過(guò)4萬(wàn)度時(shí)，單價(jià)是1萬(wàn)元/萬(wàn)度；超過(guò)4萬(wàn)度時(shí)，超過(guò)部分電量單價(jià)將按用電量進(jìn)行調(diào)整，電價(jià)y與月用電量x的函數(shù)關(guān)系可用如圖來(lái)表示．（效益=產(chǎn)值-用電量×電價(jià)）
（1）求y與用電量x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；
（2）設(shè)工廠的月效益為z（萬(wàn)元），寫出z與月用電量x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）求工廠最大月效益．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，電價(jià)y與用電量x的函數(shù)關(guān)系式是分段函數(shù)，當(dāng)0≤x≤4時(shí)y=1，當(dāng)4＜x≤16時(shí)待定系數(shù)法可求得；
（2）根據(jù)效益=產(chǎn)值-用電量×電價(jià)，分0≤x≤4、4＜x≤16兩種情況分別表示可得；
（3）根據(jù)一次函數(shù)和二次函數(shù)性質(zhì)結(jié)合自變量取值范圍得到最大值，比較即可．

解答 解：（1）根據(jù)題意，電價(jià)y與用電量x的函數(shù)關(guān)系式是分段函數(shù)．
當(dāng)0≤x≤4時(shí)，y=1，
當(dāng)4＜x≤16時(shí)，函數(shù)是過(guò)點(diǎn)（4，1）和（8，1.5）的一次函數(shù)
設(shè)一次函數(shù)為y=kx+b
∴$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=1}\\{8k+b=1.5}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{8}}\\{b=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$
∴電價(jià)y與用電量x的函數(shù)關(guān)系為：y=$\left\{\begin{array}{l}{1（0≤x≤4）}\\{\frac{1}{8}x+\frac{1}{2}（4＜x≤16）}\end{array}\right.$；
（2）當(dāng)0≤x≤4時(shí)，z=$\frac{11}{2}$x-x×1=$\frac{9}{2}$x，
當(dāng)4＜x≤16時(shí)，z=$\frac{11}{2}x$-[4×1+（x-4）（$\frac{1}{8}x+\frac{1}{2}$）]=-$\frac{1}{8}$x²+$\frac{11}{2}$x-2，
故月效益z與用電量x之間的函數(shù)關(guān)系式為：z=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{9}{2}x（0≤x≤4）}\\{-\frac{1}{8}{x}^{2}+\frac{11}{2}x-2（4＜x≤16）}\end{array}\right.$；
（3）當(dāng)0≤x≤4時(shí)，z=$\frac{9}{2}$x，z隨著x的增大而增大，
∴當(dāng)x=4時(shí)，z的最大值為18．
當(dāng)4＜x≤16時(shí)，z=-$\frac{1}{8}$x²+$\frac{11}{2}$x-2=-$\frac{1}{8}$（x-22）²+$\frac{117}{2}$，
∵當(dāng)x≤22時(shí)，z隨x的增大而增大，
∴當(dāng)x=16時(shí)，z的最大值為54．
故當(dāng)0≤x≤16時(shí)，z的最大值為54，即工廠最大月效益為54萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查一次函數(shù)的性質(zhì)，求函數(shù)關(guān)系式及最大值要結(jié)合題意分區(qū)間去求是關(guān)鍵．