Question

6．如圖，在△ABC中，BD、BE分別是高和角平分線，點F在CA的延長線上，F(xiàn)H⊥BE交BD于G，交BC于H，下列結論：
①∠DBE=∠F；
②2∠BEF=∠BAF+∠C；
③∠F=$\frac{1}{2}$（∠BAC-∠C）；
④∠BGH=∠ABE+∠C
其中正確的是（　�。�

• A． ①②③
• B． ①③④
• C． ①②④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 ①根據(jù)BD⊥FD，F(xiàn)H⊥BE和∠FGD=∠BGH，證明結論正確；
②根據(jù)角平分線的定義和三角形外角的性質證明結論正確；
③證明∠DBE=∠BAC-∠C，根據(jù)①的結論，證明結論正確；
④根據(jù)角平分線的定義和三角形外角的性質證明結論正確．

解答 解：①∵BD⊥FD，
∴∠FGD+∠F=90°，
∵FH⊥BE，
∴∠BGH+∠DBE=90°，
∵∠FGD=∠BGH，
∴∠DBE=∠F，
①正確；
②∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∠BEF=∠CBE+∠C，
∴2∠BEF=∠ABC+2∠C，
∠BAF=∠ABC+∠C，
∴2∠BEF=∠BAF+∠C，
②正確；
③∠ABD=90°-∠BAC，
∠DBE=∠ABE-∠ABD=∠ABE-90°+∠BAC=∠CBD-∠DBE-90°+∠BAC，
∵∠CBD=90°-∠C，
∴∠DBE=∠BAC-∠C-∠DBE，
由①得，∠DBE=∠F，
∴∠F=∠BAC-∠C-∠DBE，
∴∠F=$\frac{1}{2}$（∠BAC-∠C）；
③正確；
④∵∠AEB=∠EBC+∠C，
∵∠ABE=∠CBE，
∴∠AEB=∠ABE+∠C，
∵BD⊥FC，F(xiàn)H⊥BE，
∴∠FGD=∠FEB，
∴∠BGH=∠ABE+∠C，
④正確，
故選D．

點評 本題考查的是三角形內角和定理，正確運用三角形的高、中線和角平分線的概念以及三角形外角的性質是解題的關鍵．