Question

10．如圖，在平面直角坐標系中，直線AB與x軸交于點A，與y軸交于點B，線段AB=2$\sqrt{5}$，且AO=2BO，點C為y軸上的一點，點B是線段OC的中點．
（1）求C點的坐標；
（2）動點P從點A出發(fā)，沿射線AO方向運動，點P的運動速度為每秒2個單位，運動時間為t，過點P作垂直于x軸的直線分別交射線AB和射線AC于點E和點F，設線段EF的長為d，用含t的代數式表示d；
（3）在（2）的條件下，當d=1時過點B和點C分別作x軸的平行線m和n，連接PB并延長PB交直線n于點Q，過點Q作QR⊥PQ，交直線m于R，在平面內是否存在點H，使以P、Q、R、H為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出此時點R和點H的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設OB=a，AO=2a，利用勾股定理列出方程即可解決問題．
（2）求出直線AB、AC的解析式，根據點P坐標即可解決問題．
（3）先求出點P、R坐標，再根據平行四邊形的性質求出點H坐標即可．

解答 解；（1）∵AO=2OB，設OB=a，AO=2a，
∵OA²+OB²=AB²，
∴5a²=20，
∴a²=4，
∵a＞0，
∴a=2，
∴OA=4，OB=2，OC=4，
∴點C坐標（0，4）．

（2）∵直線AC解析式為y=x+4，直線AB解析式為y=$\frac{1}{2}$x+2，
∵點P坐標（-4+2t，0），
∴EF=-4+2t+4-[$\frac{1}{2}$（-4+2t）+2]=t，
∴d=t．

（3）存在．如圖，∵t=1，
∴AP=2，PO=2，
∴點P坐標（-2，0），
∴直線PB解析式y(tǒng)=x+2，
∴點Q坐標（2，4），
∴CQ=BC=2，
∴∠CBQ=∠QBR=45°，
∵∠BQR=90°，
∴△BQR是等腰直角三角形，
∴BQ=QR=2$\sqrt{2}$，
∴BR=$\sqrt{2}$BQ=4
∴點R坐標（4，2），
∵P、Q、R、H為頂點的四邊形是平行四邊形，
∴由PR中點G坐標（1，1），可知點H₁坐標（-2.0），
由PQ中點B（0，2），可知點H₂（-4，2），
由RQ中點H（3，3），可知點H₃（8，6），
綜上所述點R的坐標（4，2）和點H的坐標為（-2，0）或（-4，2）或（8，6）．

點評 本題考查四邊形綜合題、一次函數、勾股定理、平行四邊形的判定和性質等知識，解題的關鍵是理解題意，考慮問題要全面，不能漏解，屬于中考�？碱}型．