Question

【題目】已知，如圖，ABCD中，BE，CF分別是∠ABC和∠BCD的角平分線，BE，CF相交于點O．

（1）求證：BE⊥CF；

（2）試判斷AF與DE有何數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（3）當(dāng)△BOC為等腰直角三角形時，四邊形ABCD是何特殊四邊形？（直接寫出答案）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AF=DE，理由略；（3）四邊形ABCD是矩形.

【解析】

（1）平行四邊形中鄰角互補，且BE、CF分別為一組鄰角的平分線，所以BE和CF垂直．
（2）在三角形AEB中，因為BE為平分線，AD和BC平行，所以可得∠ABE=∠AEB，即AB=AE，同理，DF=DC，所以AF=DE．
（3）當(dāng)△BOC為等腰直角三角形時，即∠BOC=90°，由題可知，∠ABC=∠BCD=90°，有一個角是直角的平行四邊形為矩形．

（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴AB∥CD
∴∠ABC+∠BCD=180°
又∵BE，CF分別是∠ABC，∠BCD的平分線
∴∠EBC+∠FCB=90°
∴∠BOC=90°
故BE⊥CF;
（2）解：AF=DE
理由如下：
∵AD∥BC
∴∠AEB=∠CBE
又∵BE是∠ABC的平分線，
∴∠ABE=∠CBE
∴∠AEB=∠ABE
∴AB=AE
同理CD=DF
又∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴AB=CD
∴AE=DF
∴AF=DE.

（3）解：當(dāng)△BOC為等腰直角三角形時四邊形ABCD是矩形．

理由：∵△BOC為等腰直角三角形，

∴∠BOC=90°，∠CBE=∠BCF=45°,

∵BE，CF分別是∠ABC和∠BCD的角平分線，

∴∠ABC=∠BCD=90°,

∵四邊形ABCD是平行四邊形,

∴四邊形ABCD是矩形.