Question

如圖，已知拋物線y=a(x-1)2-

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3

與x軸交于A，B兩點(diǎn)（A在左邊），拋物線經(jīng)過點(diǎn)D（5，-3），頂點(diǎn)為M．
（1）寫出M點(diǎn)的坐標(biāo)，并指出函數(shù)y有最大值還是最小值？這個(gè)值是多少？
（2）求a的值；
（3）以AB為直徑畫⊙P，試判定點(diǎn)D與⊙P的位置關(guān)系，并證明．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)頂點(diǎn)式求法直接的出二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)以及二次函數(shù)的最值；
（2）把D（5，-3）代入y=a(x-1)2-

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3

，直接求出a的值；
（3）首先求出二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，得出PE=4，DE=3，從而得出PD的長(zhǎng)，判斷出D與⊙P的位置關(guān)系．

解答：解：（1）∵拋物線y=a(x-1)2-

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3

，
∴頂點(diǎn)為M（1，-

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3

），
函數(shù)y有最小值是-

25

3

；

（2）把D（5，-3）代入y=a(x-1)2-

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3

得：a=

1

3

；

（3）結(jié)論：點(diǎn)D在⊙P上，
∵y=

1

3

(x-1)2-

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令y=0，得：x₁=-4，x₂=6，
∴A（-4，0），B（6，0），
∴AB=10，
∵AB為⊙P的直徑，
∴P（1，0），
∴⊙P的半徑r=5，
過點(diǎn)D作DE⊥x軸，垂足為點(diǎn)E，則E（5，0）
∴PE=5-1=4，DE=3，
∴PD=

PE2+DE2

=5，
∴PD與⊙P的半徑相等，
∴點(diǎn)D在⊙P上．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的最值以及頂點(diǎn)式和點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，判定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系得出點(diǎn)與圓心距離等于半徑是解決問題的關(guān)鍵．