【題目】在△ABC中,AB=AC,點F是BC延長線上一點,以CF為邊,作菱形CDEF,使菱形CDEF與點A在BC的同側(cè),連接BE,點G是BE的中點,連接AG、DG.
(1)如圖①,當∠BAC=∠DCF=90°時,直接寫出AG與DG的位置和數(shù)量關(guān)系;
(2)如圖②,當∠BAC=∠DCF=60°時,試探究AG與DG的位置和數(shù)量關(guān)系,
(3)當∠BAC=∠DCF=α?xí)r,直接寫出AG與DG的數(shù)量關(guān)系.
【答案】(1) AG⊥DG,AG=DG;(2) AG⊥DG,AG=DG,證明詳見解析;(3)DG=AGtan.
【解析】
試題分析:(1)延長DG與BC交于H,連接AH、AD,通過證得△BGH≌△EGD求得BH=ED,HG=DG,得出BH=DC,然后證得△ABH≌△ACD,得出∠BAH=∠CAD,AH=AD,進而求得∠HAD=90°,即可求得AG⊥GD,AG=GD;
(2)延長DG與BC交于H,連接AH、AD,通過證得△BGH≌△EGD求得BH=ED,HG=DG,得出BH=DC,然后證得△ABH≌△ACD,得出∠BAH=∠CAD,AH=AD,進而求得△HAD是等邊三角形,即可證得AG⊥GD,AG=DG;
(3)延長DG與BC交于H,連接AH、AD,通過證得△BGH≌△EGD求得BH=ED,HG=DG,得出BH=DC,然后證得△ABH≌△ACD,得出∠BAH=∠CAD,AH=AD,進而求得△HAD是等腰三角形,即可證得DG=AGtan.
試題解析:(1)AG⊥DG,AG=DG,
證明:延長DG與BC交于H,連接AH、AD,
∵四邊形CDEF是正方形,
∴DE=DC,DE∥CF,
∴∠GBH=∠GED,∠GHB=∠GDE,
∵G是BC的中點,
∴BG=EG,
在△BGH和△EGD中
∴△BGH≌△EGD(AAS),
∴BH=ED,HG=DG,
∴BH=DC,
∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠ABC=∠ACB=45°,
∵∠DCF=90°,
∴∠DCB=90°,
∴∠ACD=45°,
∴∠ABH=∠ACD=45°,
在△ABH和△ACD中
∴△ABH≌△ACD(SAS),
∴∠BAH=∠CAD,AH=AD,
∵∠BAH+∠HAC=90°,
∴∠CAD+∠HAC=90°,即∠HAD=90°,
∴AG⊥GD,AG=GD;
(2)AG⊥GD,AG=DG;
證明:延長DG與BC交于H,連接AH、AD,
∵四邊形CDEF是正方形,
∴DE=DC,DE∥CF,
∴∠GBH=∠GED,∠GHB=∠GDE,
∵G是BC的中點,
∴BG=EG,
在△BGH和△EGD中
∴△BGH≌△EGD(AAS),
∴BH=ED,HG=DG,
∴BH=DC,
∵AB=AC,∠BAC=∠DCF=60°,
∴∠ABC=60°,∠ACD=60°,
∴∠ABC=∠ACD=60°,
在△ABH和△ACD中
∴△ABH≌△ACD(SAS),
∴∠BAH=∠CAD,AH=AD,
∴∠BAC=∠HAD=60°;
∴AG⊥HD,∠HAG=∠DAG=30°,
∴tan∠DAG=tan30°=,
∴AG=DG.
(3)DG=AGtan;
證明:延長DG與BC交于H,連接AH、AD,
∵四邊形CDEF是正方形,
∴DE=DC,DE∥CF,
∴∠GBH=∠GED,∠GHB=∠GDE,
∵G是BC的中點,
∴BG=EG,
在△BGH和△EGD中
∴△BGH≌△EGD(AAS),
∴BH=ED,HG=DG,
∴BH=DC,
∵AB=AC,∠BAC=∠DCF=α,
∴∠ABC=90°﹣,∠ACD=90°﹣,
∴∠ABC=∠ACD,
在△ABH和△ACD中
∴△ABH≌△ACD(SAS),
∴∠BAH=∠CAD,AH=AD,
∴∠BAC=∠HAD=α;
∴AG⊥HD,∠HAG=∠DAG=,
∴tan∠DAG=tan=,
∴DG=AGtan.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知∠AOB是一個直角,作射線OC,再分別作∠AOC和∠BOC的平分線OD、OE.
(1)如圖①,當∠BOC=70°時,求∠DOE的度數(shù);
(2)如圖②,當射線OC在∠AOB內(nèi)繞O點旋轉(zhuǎn)時,∠DOE的大小是否發(fā)生變化若變化,說明理由;若不變,求∠DOE的度數(shù);
(3)如圖③,當射線OC在∠AOB外繞O點旋轉(zhuǎn)時,畫出圖形,判斷∠DOE的大小是否發(fā)生變化若變化,說明理由;若不變,求∠DOE的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】 “囧”(jiong)是近時期網(wǎng)絡(luò)流行語,像一個人臉郁悶的神情.如圖所示,一張邊長為20的正方形的紙片,剪去兩個一樣的小直角三角形和一個長方形得到一個“囧”字圖案(陰影部分).設(shè)剪去的小長方形長和寬分別為x、y,剪去的兩個小直角三角形的兩直角邊長也分別為x、y.
(1)用含有x、y的代數(shù)式表示右圖中“囧”的面積;
(2)當時,求此時“囧”的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】體育老師測試了一組學(xué)生的立定跳遠成績,記錄如下(單位:m):2.00,2.11,2.35,2.15,2.20,2.17,那么這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是( 。
A.2.15B.2.16C.2.17D.2.20
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=7,AC=5,BC=6,∠ABC和∠ACB的平分線相交于點D,過點D作BC的平行線交AB于點E,交AC于點F.則△AEF的周長為( )
A.9 B.11 C.12 D.13
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】點A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b,A、B兩點之間的距離表示為AB,則在數(shù)軸上A、B兩點之間的距離AB=|a﹣b|.
所以式子|x﹣2|的幾何意義是數(shù)軸上表示x的點與表示2的點之間的距離.借助于數(shù)軸回答下列問題:
①數(shù)軸上表示2和5兩點之間的距離是 , 數(shù)軸上表示1和﹣3的兩點之間的距離是 .
②數(shù)軸上表示x和﹣2的兩點之間的距離表示為 .
③數(shù)軸上表示x的點到表示1的點的距離與它到表示﹣3的點的距離之和可表示為:|x﹣1|+|x+3|.則|x﹣1|+|x+3|的最小值是 .
④若|x﹣3|+|x+1|=8,則x=
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖①、②、③中,點E、D分別是正△ABC、正四邊形ABCM、正五邊形ABCMN中以C點為頂點的相鄰兩邊上的點,且BE=CD,DB交AE于P點.
(1)求圖①中,∠APD的度數(shù)為_______;(2)圖②中,∠APD的度數(shù)為_________,
(3)圖③中,∠APD的度數(shù)為_______;
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