Question

【題目】如圖，△ABD是⊙O的內(nèi)接三角形，E是弦BD的中點，點C是⊙O外一點，且∠DBC＝∠A，連接OE并延長與⊙O相交于點F，與BC相交于點C.

(1)求證：BC是⊙O的切線；

(2)若⊙O的半徑為6，BC＝8，求弦BD的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）9.6

【解析】試題分析：(1)連接OB，由垂徑定理可得BE=DE，OE⊥BD， ，再由圓周角定理可得 ，從而得到∠ OBE＋∠ DBC＝90°，即 ，命題得證.

(2)由勾股定理求出OC，再由△OBC的面積求出BE，即可得出弦BD的長.

試題解析：(1)證明：如下圖所示，連接OB.

∵ E是弦BD的中點，∴ BE＝DE，OE⊥ BD，，

∴∠ BOE＝∠ A，∠ OBE＋∠ BOE＝90°.

∵∠ DBC＝∠ A，∴∠ BOE＝∠ DBC，

∴∠ OBE＋∠ DBC＝90°，∴∠ OBC＝90°，即BC⊥OB，∴ BC是⊙ O的切線．

(2)解：∵ OB＝6，BC＝8，BC⊥OB，∴ ,

∵ ，∴ ，

∴.