Question

【題目】如圖，四邊形OABC中，．OA=OC， BA=BC．以O為圓心，以OA為半徑作☉O

(1)求證：BC是☉O的切線(xiàn):

(2)連接BO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D，延長(zhǎng)AO交⊙O于點(diǎn)E，與此的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)F若．

①補(bǔ)全圖形；

②求證：OF=OB．

Answer 1

【答案】(1)證明見(jiàn)解析（2）①圖見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）連接AC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OAC＝∠OCA，∠BAC＝∠BCA，得到∠OCB＝∠OAB＝90°，根據(jù)切線(xiàn)的判定定理證明；

（2）①根據(jù)題意畫(huà)出圖形；

②根據(jù)切線(xiàn)長(zhǎng)定理得到BA＝BC，得到BD是AC的垂直平分線(xiàn)，根據(jù)垂徑定理、圓心角和弧的關(guān)系定理得到∠AOC＝120°，根據(jù)等腰三角形的判定定理證明結(jié)論．

（1）證明：如圖1，連接AC，

∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠OCA，

∵BA＝BC，

∴∠BAC＝∠BCA，

∴∠OAC＋∠BCA＝∠OCA＋∠BCA，即∠OCB＝∠OAB＝90°，

∴OC⊥BC，

∴BC是⊙O的切線(xiàn)；

（2）①解：補(bǔ)全圖形如圖2；

②證明：∵∠OAB＝90°，

∴BA是⊙O的切線(xiàn)，又BC是⊙O的切線(xiàn)，

∴BA＝BC，

∵BA＝BC，OA＝OC，

∴BD是AC的垂直平分線(xiàn)，

∴，

∵，

∴=,

∴∠AOC＝120°，

∴∠AOB＝∠COB＝∠COE＝60°，

∴∠OBF＝∠F＝30°，

∴OF＝OB．