Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的邊OA、OC分別在y軸和x軸的正半軸上，且長(zhǎng)分別為m、4m（m＞0），D為邊AB的中點(diǎn)，一拋物線l經(jīng)過點(diǎn)A、D及點(diǎn)M（-1，-1-m）．
（1）求拋物線l的解析式（用含m的式子表示）；
（2）把△OAD沿直線OD折疊后點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，連接OA′并延長(zhǎng)與線段BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，若拋物線l與線段CE相交，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）在滿足（2）的條件下，求出拋物線l頂點(diǎn)P到達(dá)最高位置時(shí)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)拋物線l的解析式為y=ax²+bx+c，將A、D、M三點(diǎn)的坐標(biāo)代入，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求解；
（2）設(shè)AD與x軸交于點(diǎn)M，過點(diǎn)A′作A′N⊥x軸于點(diǎn)N．根據(jù)軸對(duì)稱及平行線的性質(zhì)得出DM=OM=x，則A′M=2m-x，OA′=m，在Rt△OA′M中運(yùn)用勾股定理求出x，得出A′點(diǎn)坐標(biāo)，運(yùn)用待定系數(shù)法得到直線OA′的解析式，確定E點(diǎn)坐標(biāo)（4m，-3m），根據(jù)拋物線l與線段CE相交，列出關(guān)于m的不等式組，求出解集即可；
（3）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合（2）中求出的實(shí)數(shù)m的取值范圍，即可求解．
解答：解：（1）設(shè)拋物線l的解析式為y=ax²+bx+c，
將A（0，m），D（2m，m），M（-1，-1-m）三點(diǎn)的坐標(biāo)代入，
得，解得，
所以拋物線l的解析式為y=-x²+2mx+m；

（2）設(shè)AD與x軸交于點(diǎn)M，過點(diǎn)A′作A′N⊥x軸于點(diǎn)N．
∵把△OAD沿直線OD折疊后點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，
∴△OAD≌△OA′D，OA=OA′=m，AD=A′D=2m，∠OAD=∠OA′D=90°，∠ADO=∠A′DO，
∵矩形OABC中，AD∥OC，
∴∠ADO=∠DOM，
∴∠A′DO=∠DOM，
∴DM=OM．
設(shè)DM=OM=x，則A′M=2m-x，
在Rt△OA′M中，∵OA′²+A′M²=OM²，
∴m²+（2m-x）²=x²，
解得x=m．
∵S_△OA′M=OM•A′N=OA′•A′M，
∴A′N==m，
∴ON==m，
∴A′點(diǎn)坐標(biāo)為（m，-m），
易求直線OA′的解析式為y=-x，
當(dāng)x=4m時(shí)，y=-×4m=-3m，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（4m，-3m）．
當(dāng)x=4m時(shí)，-x²+2mx+m=-（4m）²+2m•4m+m=-8m²+m，
即拋物線l與直線CE的交點(diǎn)為（4m，-8m²+m），
∵拋物線l與線段CE相交，
∴-3m≤-8m²+m≤0，
∵m＞0，
∴-3≤-8m+1≤0，
解得≤m≤；

（3）∵y=-x²+2mx+m=-（x-m）²+m²+m，≤m≤，
∴當(dāng)x=m時(shí)，y有最大值m²+m，
又∵m²+m=（m+）²-，
∴當(dāng)≤m≤時(shí)，m²+m隨m的增大而增大，
∴當(dāng)m=時(shí)，頂點(diǎn)P到達(dá)最高位置，m²+m=（）²+=，
故此時(shí)拋物線l頂點(diǎn)P到達(dá)最高位置時(shí)的坐標(biāo)為（，）．
點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到運(yùn)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，軸對(duì)稱的性質(zhì)，勾股定理，兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，二次函數(shù)、矩形的性質(zhì)，解不等式組等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．（2）中求出A′點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．