Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AE⊥AD交BD于點E，CF⊥BC交BD于點F，且AE=CF

⑴求證：四邊形ABCD是平行四邊形．

⑵若∠BAE=∠BDC,AE=3，BD=9，AB=4，求四邊形ABCD的周長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）由垂直得到∠EAD=∠FCB=90°，根據(jù)AAS可證明Rt△AED≌Rt△CFB，得到AD=BC，根據(jù)平行四邊形的判定判斷即可；

（2）由平行四邊形ABCD的性質(zhì)可得：AB//CD,從而得到∠ABE＝∠BDC，又由∠BAE=∠BDC可得：∠ABE＝∠BAE,從而得出BE＝AE＝3，DE＝BD－BE＝6，在Rt△AED中，根據(jù)勾股定理求得AD的長度，再求其周長即可.

（1）∵AE⊥AD，CF⊥BC，
∴∠EAD=∠FCB=90°，
∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠CBF，
在Rt△AED和Rt△CFB中，

，

∴Rt△AED≌Rt△CFB（AAS），
∴AD=BC，
∵AD∥BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形；

（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形,

∴AB//CD,

∴∠ABE＝∠BDC，

又∵∠BAE=∠BDC,

∴∠ABE＝∠BAE,

∴BE＝AE＝3,

∴DE＝BD－BE＝6，

在Rt△AED中，AD＝，

∴四邊形ABCD的周長為2（+4）＝.