Question

【題目】已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）過點(diǎn)A（1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，OC＝3．

（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)P為拋物線在直線BC下方圖形上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PBC面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）若點(diǎn)Q為線段OC上的一動(dòng)點(diǎn)，問：AQ+QC是否存在最小值？若存在，求岀這個(gè)最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣4x+3，則頂點(diǎn)D（2，﹣1）；（2）P（，﹣）；（3）H，而點(diǎn)A（1，0），則AH＝，即：AQ+QC的最小值為.

【解析】

將坐標(biāo)（1，0），B（3，0）代入計(jì)算即可得出拋物線的解析式，即可計(jì)算出D的坐標(biāo).

將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式計(jì)算，設(shè)點(diǎn)P（x，x2﹣4x+3），則點(diǎn)H（x，﹣x+3），求出x的值即可.

（3）存在，過點(diǎn)C作與y軸夾角為30°的直線CH，過點(diǎn)A作AH⊥CH，垂足為H，

則HQ＝CQ，Q+QC最小值＝AQ+HQ＝AH，求出k值，再將A的坐標(biāo)代入計(jì)算即可解答.

（1）函數(shù)的表達(dá)式為：y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3），即：3a＝3，解得：a＝1，

故拋物線的表達(dá)式為：y＝x2﹣4x+3，則頂點(diǎn)D（2，﹣1）；

（2）將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：y＝mx+n并解得：

直線BC的表達(dá)式為：y＝﹣x+3，過點(diǎn)P作y軸的平行線交BC于點(diǎn)H，

設(shè)點(diǎn)P（x，x2﹣4x+3），則點(diǎn)H（x，﹣x+3），

則S△PBC＝PH×OB＝（﹣x+3﹣x2+4x﹣3）＝（﹣x2+3x），

∵﹣＜0，故S△PBC有最大值，此時(shí)x＝，故點(diǎn)P（，﹣）；

（3）存在，理由：

如上圖，過點(diǎn)C作與y軸夾角為30°的直線CH，過點(diǎn)A作AH⊥CH，垂足為H，

則HQ＝CQ，Q+QC最小值＝AQ+HQ＝AH，

直線HC所在表達(dá)式中的k值為，直線HC的表達(dá)式為：y＝x+3…①

則直線AH所在表達(dá)式中的k值為﹣ ，

則直線AH的表達(dá)式為：y＝﹣x+s，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入上式并解得：

則直線AH的表達(dá)式為：y＝﹣x+…②，

聯(lián)立①②并解得：x＝，

故點(diǎn)H（，），而點(diǎn)A（1，0），則AH＝，即：AQ+QC的最小值為.